Constat: la somme de 3 nombres entiers consécutifs est toujours égale à 3 fois le nombre qui est au milieu de la série. On peut également dire que pour calculer (rapidement) la somme de 3 nombres entiers consécutifs il suffit de multiplier par 3 le nombre qui est au milieu de la série.
Nombres entiers pairs consécutifs
Il s'agit d'entiers pairs qui se suivent mais diffèrent par deux. Lorsque x est un nombre entier pair, les nombres entiers pairs consécutifs sont x + 2, x + 4, x + 6. Voici quelques exemples : {2, 4, 6, 8, 10, 12..}
Montrer que la somme de trois entiers consécutifs est toujours un multiple de 3. Soit trois entiers consécutifs qui peuvent donc s'écrire sous la forme : n, n +1 et n + 2, où n est un entier quelconque. Leur somme est S = n + (n + 1) + (n + 2) = n + n + 1 + n + 2 = 3n + 3 = 3(n + 1).
Les 3 nombres consécutifs sont 170, 171 et 172 (la somme fait bien 513).
Justification de la définition
Un triplet de nombres premiers consécutifs est constitué de nombres premiers impairs, à l'exception de (2,3,5). Si trois entiers sont de la forme n, n + 2, n + 4, alors 3 est un diviseur de l'un de ces trois nombres, donc si n > 3 l'un de ces nombres n'est pas premier.
Constat: la somme de 3 nombres entiers consécutifs est toujours égale à 3 fois le nombre qui est au milieu de la série. On peut également dire que pour calculer (rapidement) la somme de 3 nombres entiers consécutifs il suffit de multiplier par 3 le nombre qui est au milieu de la série.
Ex. : 30, 790, 9 850, 213 850, etc. Pour trouver les multiples de 3, il faut additionner tous les chiffres composant le nombre : si le total est égal à 3, 6 ou 9, c'est bien un multiple de 3. Ex. : si l'on additionne le 1 et le 2 du nombre 12, on trouve 3 (1 + 2 = 3) ; donc 12 est un multiple de 3 (3 × 4 = 12).
Gauss s'est servi de la même méthode pour additionner tous les nombres de 1 à 100. Il a réalisé qu'il pouvait faire des paires avec tous les nombres. Il avait donc 50 paires, chacune représentant une somme de 101. Il pouvait ensuite multiplier 50 × 101 pour parvenir à sa réponse : 5 050.
Donc 2n−1 = (2k + 1)2 = 4k2 + 4k + 1 d'o`u l'on déduit : n = 2k2 + 2k +1= k2 + (k + 1)2 est la somme des carrés de deux entiers consécutifs k et k + 1. Exercice 2.
On additionne les 2 nombres sans tenir compte des signes. Le résultat est toujours négatif. Les 2 nombres sont de signes contraires. On soustrait les 2 nombres sans tenir compte des signes.
Il y a une formule pour calculer la somme des termes d'une suite arithmétique qui est encore plus facile. u 0 + . . . + u n = ( n + 1 ) u 0 + u n 2 Cette formule correpond à multiplier la moyenne des premier et dernier termes par le nombre de termes.
Sn = a + a + r + ... + a + r × ( n − 2 ) + a + r × ( n − 1 ). Nous trouvons ainsi la règle suivante : La somme de n termes consécutifs d'une suite arithmétique est égale à la demi-somme des premier et dernier termes, multipliée par le nombre de termes.
Un multiple d'un nombre entier naturel est le produit de ce nombre par un nombre entier naturel. Exemples : 0 ×98 = 0 ; 1×98 = 98 et 2×98 = 196 Donc 0 ; 98 et 196 sont des multiples de 98. L'égalité 196 = 2×98 traduit que 196 est un multiple de 2 ou de 98. Chaque nombre entier naturel est multiple de 1 et de lui-même.
Pour trouver l'encadrement d'une fraction (par exemple) entre deux entiers consécutifs, on divise le numérateur par le dénominateur (17 : 3) ; le quotient entier obtenu (5) est le premier entier de l'encadrement, le deuxième est obtenu en lui ajoutant 1.
Le sous problème suivant est en général émis par de nombreux groupes : "tous les entiers impairs conviennent". sa démonstration utilise le calcul algébrique : soit n un entier naturel , n + (n + 1) = 2n + 1 , ce qui démontre que tout entier impair est la somme de deux entiers consécutifs.
Il faut savoir que des mathématiciens sont allés encore plus loin. Ils ont nommé un nombre encore plus grand : le "Googolplex", c'est un 1 suivi d'un googol de zéros, un nombre si immense qu'il y a davantage de zéros dans l'écriture de ce nombre que d'atomes dans l'univers.
A quoi pourrait être égale la somme des nombres entiers positifs: 1+2+3+4+5+6+7+… comme ça jusqu'à l'infini… Et badaboum, la réponse est unanime : l'infini!
La somme de 2 entiers consécutifs peut s'écrire sous la forme d'une expression littérale. Si "x" est un nombre entier, alors "x + 1" est le nombre suivant ("x" et "x + 1" sont 2 entiers consécutifs). En plaçant le signe de l'addition entre les deux, on obtient la somme de 2 entiers consécutifs.
Il peut également remarquer que lorsqu'il y a une solution, il suffit de diviser la somme par 3 et de commencer par l'entier immédiatement inférieur. Cela pourra être justifié et débattu avec la production de l'expression littérale : (n-1) + n + (n+1).
Sn = n (n + 1) 2 . Au passage, on a obtenu une formule pour la somme des n premiers entiers naturels pairs : 2+4+6+ ··· + (2n − 2) + 2n = [(n + 1) × n − 1 × 0] = n (n + 1).
∫∫∫D grad(t) dV = ∫∫S(t⊗n)ds. De cette formule découle celle d'Ostrogradski ou de la divergence. 4) Rappelons aussi la formule de Gauss en électromagnétisme qui concerne le flux à travers une surface fermée et qui est liée à la précédente.
Pour additionner deux nombres entiers, on pose l'addition. On place les unités sous les unités, les dizaines sous les dizaines et les centaines sous les centaines : Étape 1 : On additionne les unités et on note la retenue dans la colonne des dizaines.
a) Les multiples successifs de 14 sont : 14, 28, 42, 56, … 140, 154, … 280, … On reconnaît que 56 est un multiple de 14.
Liste des premiers multiples de 45 : 0× 45 = 0; 1× 45 = 45; 2× 45 = 90; 3× 45 = 135; 4× 45 = 180; 5× 45 = 225 ; 6× 45 = 270; 7× 45 = 315; 8× 45 = 360; 9× 45 = 405; 10× 45 = 450 ; 11× 45 = 495 ; 12× 45 = 540 ; 13× 45 = 585; 14× 45 = 630; 15× 45 = 675; ...
Les diviseurs de 126 sont : 1, 2, 3, 6, 7, 9, 14, 18, 21, 42, 63, 126.