Comment calculer la matrice des cofacteurs ? La comatrice ( matrice des cofacteurs ) d'une matrice carrée M est notée Cof(M) C o f ( M ) . Pour chaque élément de la matrice, calculer le déterminant de la sous-matrice SM associée (ce déterminant est noté Det(SM) Det ( S M ) ou |SM| et est aussi appelé mineur.
Déterminant : si n ≥ 2, det(comA) = (detA)n–1. Comatrice de la comatrice : si n ≥ 2, com(comA) = (detA)n–2 A. Si P(X) = det(A – X In) est le polynôme caractéristique de A et si Q est le polynôme défini par Q(X) = (P(0) – P(X))/X, alors : t(comA) = Q(A).
On appelle matrice inverse de la matrice carrée d'ordre , la matrice, si elle existe, notée telle que : A A − 1 = A − 1 A = I , obtenue par la relation suivante : A − 1 = t com ( A ) | A | ( | A | ≠ 0 ) , où t com ( A ) est la transposée de la comatrice de .
Si A est une matrice carrée, alors det(A*) = det A. Si M = M*, alors la matrice est dite hermitienne ou auto-adjointe. Si M = –M*, alors la matrice est dite antihermitienne (en). Si M M* = M* M, alors la matrice est dite normale.
Utiliser la réduction linéaire par rangées pour trouver une matrice inverse. Accolez la matrice identité à votre matrice. Inscrivez sur votre feuille la matrice de départ M sans l'accolade de droite, tirez un trait vertical à droite de celle-ci, inscrivez la matrice identité et fermez l'accolade.
Pour diagonaliser une matrice, une méthode de diagonalisation consiste à calculer ses vecteurs propres et ses valeurs propres. La matrice diagonale D est composée des valeurs propres. La matrice inversible P est composée des vecteurs propres dans le même ordre de colonnes que les valeurs propres associées.
La matrice de passage d'une base à une base est inversible et son inverse est égale à la matrice de passage de la base à la base .
Comment calculer les mineurs d'une matrice ? Pour une matrice carrée d'ordre 2, trouver les mineurs c'est calculer la matrice des cofacteurs sans les coefficients. Pour les matrices de taille supérieure comme 3x3, calculer les déterminants de chaque sous-matrice.
Une matrice réelle dont toutes les colonnes sont orthogonales deux à deux est inversible si et seulement si elle n'a aucune colonne nulle. Un produit de deux matrices carrées est inversible si et seulement si les deux matrices en facteur le sont aussi.
La règle de Sarrus (nommée d'après Pierre-Frédéric Sarrus) est un procédé visuel, qui permet de retenir la formule de calcul des déterminants d'ordre 3. La règle de Sarrus consiste à écrire les trois colonnes de la matrice et à répéter, dans l'ordre, les deux premières lignes en dessous de la matrice.
Il suffit de rentrer chaque matrice de façon "naturelle" élément par élément, séparé d'un espace en effectuant un saut de ligne à chaque fin de ligne de la matrice. Vous pouvez entrer des entiers relatifs et des fractions de la forme -3/4 par exemple.
La matrice M est diagonalisable si et seulement si la somme des multiplicités géométriques est égale à la taille de M. Or chaque multiplicité géométrique est toujours inférieure ou égale à la multiplicité algébrique correspondante.
On résout ( S ) par la méthode du pivot de Gauss. On a donc pour toutes matrices X et Y de M 3 , 1 ( R ) l'équivalence A X = Y ⇔ X = A ′ Y .
En algèbre linéaire et multilinéaire, une matrice symétrique est une matrice carrée qui est égale à sa propre transposée, c'est-à-dire telle que ai,j = aj,i pour tous i et j compris entre 1 et n, où les ai,j sont les coefficients de la matrice et n est son ordre.
Le déterminant se calcule en multipliant les deux termes de la diagonales : a x d, puis les deux autres : b x c. On soustrait alors, ce qui donne det(A) = a x d – b x c.
Définition : Si A est une matrice carrée (ai,j)1≤i,j≤n ( a i , j ) 1 ≤ i , j ≤ n , les mineurs principaux sont les déterminants des matrices tronquées (ai,j)1≤i,j≤k ( a i , j ) 1 ≤ i , j ≤ k , pour k allant de 1 à n .
Si dans une matrice on ajoute à une ligne un multiple d'une autre ligne, le déterminant ne change pas. Si A est une matrice carrée d'ordre n, on a det(A)=det(At). Si A et B sont des matrices carrées d'ordre n, on a det(A⋅B)=det(A)⋅det(B).
est ⟨ℓ,v⟩=(a b c)(xyz)=ax+by+cz. Je rappelle que la base duale (e∗1,e∗2,e∗3) est caractérisée par le fait que ⟨e∗i,ej⟩=δi,j (de Kronecker), c.
Deux nombres sont inverses l' un de l' autre lorsque leur produit est égal à 1. Remarque : Seul 0 n' a pas d' inverse. D' après la règle des signes; deux nombres inverses sont toujours du même signe alors que deux nombres opposés et non nuls sont de signes contraires.
Inverse d'une fraction
Soit a et b deux nombres entiers d'une fraction avec a étant le numérateur et b le dénominateur. L'inverse de la fraction a/b est égal à b/a.
Une matrice scalaire est une matrice diagonale (à coefficients dans un anneau) dont tous les coefficients diagonaux sont égaux, c'est-à-dire de la forme λIn où λ est un scalaire et In la matrice identité d'ordre n.
Pour trigonaliser une matrice, il n'y a pas de méthode globale à connaître a priori. La trigonalisabilité d'une matrice s'obtient après le calcul de son polynôme caractéristique et le constat que ce polynôme est scindé sur le corps de référence de la matrice.
Pour démontrer qu'une matrice A est diagonalisable, la méthode la plus classique consiste à calculer le polynôme caractéristique χA et à le factoriser pour déterminer les valeurs propres de A . Si χA n'est pas scindé, A n'est pas diagonalisable. Si χA est scindé à racines simples, A est diagonalisable.