On trouve les coordonnées de chaque vecteur. On regarde si les coordonnées des vecteurs sont proportionnelles. Si les coordonnées sont proportionnelles, alors les vecteurs sont colinéaires. Si les coordonnées ne sont pas proportionnelles, alors les vecteurs ne sont pas colinéaires.
Étymologiquement, colinéaire signifie sur une même ligne : en géométrie classique, deux vecteurs sont colinéaires si on peut en trouver deux représentants situés sur une même droite. sont parallèles. Cette équivalence explique l'importance que prend la colinéarité en géométrie affine.
les vecteurs ont la même direction ou bien l'un des deux vecteurs est le vecteur nul 0 ; les vecteurs u et v sont colinéaires si et seulement si il existe un nombre réel k tel que u → = k v → \overrightarrow{u}=k\overrightarrow{v} u =kv .
Propriétés : Les points A, B et C sont alignés si et seulement si les vecteurs ⃗ AB et ⃗ AC sont colinéaires. Les droites (AB) et (CD) sont parallèles si et seulement si les vecteurs ⃗ AB et ⃗ CD sont colinéaires.
Le vecteur est un vecteur directeur de la droite d'équation ax + by + c = 0. Soient (d) la droite de vecteur directeur et (d') la droite de vecteur directeur . Les droites (d) et (d') sont parallèles si et seulement si et sont colinéaires, c'est-à-dire si et seulement si le déterminant de et de est nul.
Une des méthodes pour montrer que trois points sont alignés consiste à démontrer qu'ils appartiennent à la même droite. On considère un repère \left( O;I;J \right). Montrer que les points A\left(1;2\right), B\left(-1 ; 6\right) et C\left(2;0\right) sont alignés.
Si les deux vecteurs ⃑ 𝑢 et ⃑ 𝑣 sont perpendiculaires, alors l'angle 𝜃 = 9 0 ∘ . On peut utiliser cette information pour établir que si le produit scalaire de deux vecteurs est égal à 0, alors ces vecteurs sont perpendiculaires.
Trois points A, B et C sont alignés si et seulement si les vecteurs A B → \overrightarrow{AB} AB et A C → \overrightarrow{AC} AC sont colinéaires. C'est-à-dire : « A, B et C sont alignés si et seulement s'il existe un réel k tel que A C → = k A B → \overrightarrow{AC} = k \overrightarrow{AB} AC =kAB ».
Deux droites sont sécantes si et seulement si leur intersection est un singleton. rappel . Deux droites sont coplanaires si et seulement si elle sont parallèles ou sécantes. Pour montrer que deux droites ne sont pas coplanaires, il suffit de montrer qu'elles ne sont ni parallèles ni sécantes.
Produit scalaire et vecteurs colinéaires
Si ⃗ AB et ⃗ CD sont deux vecteurs colinéaires non nuls, alors : 1er cas, vecteurs de même sens : ⃗ ⋅ C D ⃗ = A B × C D \vec {AB}\cdot \vec {CD}=AB\times CD AB ⋅CD =AB×CD.
Adjectif. (Géométrie) De même direction (se dit de vecteurs). Deux vecteurs colinéaires et de même module sont égaux ou opposés. Le vecteur nul est colinéaire à tout vecteur.
On dit que 2 vecteurs et sont colinéaires lorsqu'il existe un réel tel que . Pour k = 0, , le vecteur nul est donc colinéaire à tout autre vecteur.
Deux vecteurs sont égaux si ils ont la même direction, le même sens et la même norme. Cela signifie que si deux vecteurs →AB et →CD sont égaux, alors le quadrilatère ABDC est un parallélogramme (Attention à l'ordre des lettres ! Il s'agit du quadrilatère ABDC et non ABCD.)
Deux vecteurs →u et →v de l'espace sont orthogonaux si et seulement si →u. →v=0. . Deux droites D et Δ de vecteurs directeurs respectifs →u et →v sont dites orthogonales lorsque →u et →v le sont.
Quand une force A et une force B agissent sur un objet dans le même sens (vecteurs colinéaires), la force résultante (C) est égale à A + B, dans la direction de A et B. Si la force A a plus d'intensité que la force B, la résultante sera plus proche du point d'application de A que du point d'application de B.
Indice : En géométrie vectorielle, pour montrer que 4 points sont coplanaires, il faut montrer que trois des vecteurs qu'ils forment sont coplanaires. Pour ça, il faut exprimer un des trois vecteurs en fonction des deux autres.
Définition : Trois vecteurs sont coplanaires s'ils possèdent des représentants appartenant à un même plan. Propriété : Soit , et trois vecteurs non coplanaires. Pour tout vecteur , il existe un unique triplet tel que .
Un vecteur normal à (Q) est : Il n'existe pas de réel k tel que 1xk=2 et (-1)xk=1 donc ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires. Les plans (P) et (Q) ne sont donc pas parallèles. Ils sont par conséquent sécants, et leur intersection est une droite.
« Lorsque deux plans sont parallèles, tout plan coupant l'un coupe l'autre et les droites d'intersection sont parallèles ». « Trois points coplanaires sont toujours alignés ». « Trois points alignés sont toujours coplanaires ». « Quatre points non alignés forment toujours un plan ».
Des vecteurs (au moins au nombre de 3) sont dits coplanaires si leurs représentants appartiennent au même plan. appartienent au même plan ce qui implique le point correspondant à leur origine (O) ainsi que les points correspondant à leurs extêmités ( A, B et C) font partie d'un même plan.
2) Les vecteurs u, v et w sont non coplanaires ssi ils forment une base de l'espace, c'est à dire ssi au+bv+cw=0 implique a=b=c=O. Donc, on peut écrire le système d'équation à trois inconnues orrespondant à au+bv+cw=0. S'il a une solution non triviale, les vecteurs sont coplanaires, sinon ils ne le sont pas.
D C F E A D B C Page 5 5 sur 19 Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr Définition : Deux vecteurs sont opposés lorsqu'ils ont la même direction, la même longueur et qu'ils sont de sens contraire.
Soit une doite (D) du plan. On appelle vecteur normal de la droite (D) tout vecteur (non nul) orthogonal à un vecteur directeur de la droite. Si l'équation cartésienne de (D) est ax+by+c=0, alors un vecteur normal de (D) est le vecteur de coordonnées (a,b).
La norme d'un vecteur correspond à sa longueur, c'est-à-dire à la distance qui sépare les deux points qui définissent le vecteur.
Rappeler le cours. On rappelle que deux droites sont orthogonales si et seulement si leurs vecteurs directeurs sont orthogonaux, c'est-à-dire si le produit scalaire de ces deux vecteurs est nul.