Une application linéaire de E dans F est une application f:E → F telle que pour tous vecteurs u, v ∈ E et tout scalaire λ ∈ K, • f(u + v) = f(u) + f(v), • f(λu) = λf(u). Si F = K on dit que f est une forme linéaire. Si F = E, f est appelée un endomorphisme.
Remarque. Pour montrer qu'un endomorphisme f ∈ L(E) est bijective, il suffit de montrer que f est injectif (en montrant par exemple que Ker(f) = {0E}) ou que f est surjectif (en montrant Im(f) = F).
Une condition nécessaire et suffisante pour qu'une application linéaire de dans soit un automorphisme est que la matrice associée à dans une base quelconque de soit inversible. De plus, si est un automorphisme de et si A = [ f ] B E , la matrice de dans la base est égale à , inverse de la matrice .
Un endomorphisme est bijectif lorsqu'il est à la fois injectif et surjectif. Cette définition de la bijectivité comme la conjonction de l'injectivité et de la surjectivité n'est pas spécifique aux endomorphismes. Il s'agit d'une définition générale s'appliquant à des fonctions quelconques f:E⟶F f : E ⟶ F .
Les endomorphismes f et fa,b sont égaux sur une base donc égaux sur l'espace ℂ entier. fa,b(fa,b(z))=(a2+|b|2)z+2Re(a)bˉz. L'endomorphisme fa,b est donc une symétrie si, et seulement si, {a2+|b|2=12Re(a)b=0.
Noyau d'une application linéaire
L'application linéaire f est injective si et seulement si ker(f) = {0}. , et le noyau peut être déterminé en résolvant le système homogène d'équations linéaires M X = 0.
Un endomorphisme est bijectif lorsqu'il est à la fois injectif et surjectif. Cette définition de la bijectivité comme la conjonction de l'injectivité et de la surjectivité n'est pas spécifique aux endomorphismes.
Montrer que l'endomorphisme u est continu si, et seulement si, l'ensemble {x∈E|∥u(x)∥=1} est une partie fermée de E. est l'image réciproque du fermé {1} par l'application continue f=∥⋅∥∘u. La partie A est donc un fermé relatif à E, c'est donc une partie fermée de E.
f est un automorphisme de groupe si f est un isomorphisme et si G=G′ (même groupe au départ et à l'arrivée). Le noyau de f , noté kerf , est l'ensemble des x de G tels que f(x)=1G′ f ( x ) = 1 G ′ . Le noyau kerf est un sous-groupe de G , et on prouve que f est injective si et seulement si kerf={1G} f = { 1 G } .
Une application T : X → Y est dite inversible si, pour tout y ∈ Y , l'équation T(x) = y admet une unique solution x ∈ X. (y) = (l'unique x ∈ Xtel que T(x) = y). (y) = x est équivalent `a T(x) = y. = T.
Une application linéaire f ∈ L (E,F) est bijective si et seulement si M(f)ei,fj est inversible.
u est surjective si et seulement si (fi)i∈I ( f i ) i ∈ I est une famille génératrice de F ; u est bijective si et seulement si (fi)i∈I ( f i ) i ∈ I est une base de F .
On considère Mn(R) muni du produit scalaire 〈A,B〉 = Tr(tAB). On vérifie que ϕ : M ∈ Mn(R) → tM ∈ Mn(R) est un endomorphisme symétrique.
Déterminer la matrice de f dans la base B de R3. On calcule alors f(e0), image du polynôme constant égal à 1. f(e0) = Q où, pour tout x ∈ R, Q(x)=2x, donc Q = 2e1 = 0e0 + 2e1 + 0e2. On calcule de même f(e1), image du polynôme égal à x.
— L'endomorphisme u est cyclique si et seulement si E est un espace cyclique. — Si F est cyclique, alors πu|F = χu|F . Proposition 2.3 (Cayley–Hamilton). Soit u ∈ L(E).
Proposition 2.3. — Un endomorphisme est diagonalisable si et seulement si il existe une base de vecteurs propres de u.
Écrivant tout x∈E x ∈ E comme somme de xi x i , où xi∈Eλi x i ∈ E λ i , on prouve que f(g(x))=g(f(x)) f ( g ( x ) ) = g ( f ( x ) ) et donc que g g et f f commutent.
Une application linéaire est injective si et seulement si son noyau est l'espace nul (c'est une propriété générale des morphismes de groupes).
Si on connaıt une base B de E et une base C de F (ou si on peut déterminer facilement ces bases), l'applica- tion f est bijective si, et seulement si, sa matrice MatB,C (f) est inversible. Si dimE = dimF, il suffit de vérifier que Kerf = {0E} ou que f est surjective (Théor`eme du rang).
Pour démontrer qu'une application f:E→F f : E → F est surjective, on démontre que, pour tout y∈F y ∈ F , l'équation y=f(x) y = f ( x ) admet toujours au moins une solution x dans E .
On appelle noyau de A, et on note Ker (A), le noyau de l'endomorphisme canoniquement associé à A, c'est à dire sous-espace vectoriel de Mn,1(R) défini par : Ker (A) = {X ∈ Mn,1(R) | AX = 0}. Le rang d'une matrice est alors égale au rang de la famille de vecteurs constituée de ses colonnes.
Une matrice N ∈ Mn(K) est nilpotente s'il existe un entier m ≥ 1 tel que Nm = 0Mn(K). Par exemple, les matrices suivantes sont nilpotentes : N1 = (0 0 1 0 ) , N2 = 0 0 1 0 0 0 0 0 0 , N3 = 0 1 0 0 0 1 0 0 0 .
Donc Kerf est de dimension 1 et une base est donnée par un seul vecteur : X − 1. 3. Par le théor`eme du rang la dimension de l'image est : dim Imf = dimRn[X] − dim Kerf = (n + 1) − 1 = n.