La réponse est non : Théorème. – La racine carrée de 2 n'est pas un nombre rationnel.
La racine carrée de deux, notée √2 (ou parfois 21/2), est définie comme le seul nombre réel positif qui, lorsqu'il est multiplié par lui-même, donne le nombre 2, autrement dit √2 × √2 = 2. C'est un nombre irrationnel, dont une valeur approchée à 10–9 près est : √2 ≈ 1,414 213 562.
Où l'on démontre que racine de 2 ne peut pas être le quotient de deux entiers et que c'est donc un nombre irrationnel.
Toute racine carrée d'un entier est irrationnelle, à moins d'être elle-même un entier. Ainsi, √4 = 2 et √9 = 3, nombres rationnels tous les deux; mais √5, √6, √7, √8, qui ne peuvent pas être entiers, puisqu'ils doivent être situés entre 2 et 3, sont forcément irrationnels.
Preuve de l'irrationalité Supposons que √5 est rationnel et écrivons-le sous la forme d'une fraction irréductible m/n (c'est-à-dire que m et n sont premiers entre eux : PGCD(m, n) = 1). L'hypothèse √5 = m/n conduit à 5n2 = m2. Ainsi, 5 divise m2, donc divise m d'après le lemme d'Euclide.
Ils sont donc tous les deux divisibles par 2 et ne sont donc pas premiers entre eux (car ils ont un diviseur commun différent de 1 et −1). Ceci est une contradiction (étape n°2). Ainsi, √2 ne peut pas être un nombre rationnel ; c'est donc un nombre irrationnel.
Comme 3 est premier, 3 diviserait p d'o`u l'existence de p ∈ N tel que p = 3p . En reportant dans l'égalité (⋆), on aurait 3p 2 = q2 donc 3 diviserait q, ce qui contredit (p, q) premiers ente eux. La contradiction assure que √ 3 est irrationnel.
Puisque b2 est pair, b est pair. Par conséquent, il est possible de simplifier la fraction par 2, ce qui contredit l'hypothèse que a, b sont premiers entre eux. Puisque l'hypothèse « √2 est rationnel » conduit à une contradiction, c'est le contraire qui est vrai, à savoir « √2 est irrationnel ».
Une valeur approchée (à seulement 12 chiffres après la virgule) en est 1,414213562373.
Un nombre est rationnel si et seulement si son développement en fraction continue est fini. Cette méthode est à l'origine des premières démonstrations de l'irrationalité de la base e du logarithme népérien et de π. (où l'on a des séquences de '2' de plus en plus longues) est irrationnel car il n'y a pas de période.
Les nombres irrationnels sont des nombres réels qui ne sont pas des nombres rationnels. Voici quelques exemples de nombres irrationnels fréquemment utilisés: Le nombre (pi) est irrationnel (Π = 3⋅14159265…), car la valeur décimale ne s'arrête jamais. √2 est un nombre irrationnel.
En d'autres termes, un nombre rationnel est positif si son numérateur et son dénominateur ont tous deux le même signe. Parmi les exemples de nombres rationnels positifs, citons 0,2, 6 et 2/5.
Ils ne peuvent pas s'écrire sous la forme d'une fraction. Définition : Un nombre réel est un nombre rationnel ou irrationnel. L'ensemble des nombres réels est noté ℝ.
Un nombre rationnel est un nombre qui s'exprime comme le quotient de deux nombres entiers. Ainsi, 2013, 3/2, -2/3, 1/100 sont rationnels alors que la racine carrée de 2 ou Pi sont irrationnels.
Théorème — Un nombre réel est irrationnel si et seulement si son développement décimal propre n'est pas périodique. On démontre de même la caractérisation analogue via le développement dans n'importe quelle base (entière et supérieure ou égale à 2).
Vrai : la racine carrée d'un nombre irrationnel positif est irrationnelle.
√ 2 est irrationnel. provoqua un énorme scandale. Il fut tel que la légende rapporte qu' HIPPASE DE METAPONTE, disciple de PYTHAGORE, accusé d'avoir révélé cette découverte au monde (vers 530 avant notre ère), périt noyé, jeté à la mer par ses condisciples.
Pour trouver √2, il faut que la somme des aires des carrés des côtés de l'angle droit soit égale à 2. On remarque que 2 est égal à 1²+ 1². Donc il suffit de construire un triangle rectangle dont les côtés de l'angle droit mesurent 1 et 1. La longueur de l'hypoténuse sera donc égale à √2.
Pour multiplier ou diviser des racines carrées, on utilise la propriété selon laquelle la racine carrée du produit est égale au produit des racines carrées et la racine carrée du quotient est égale au quotient des racines carrées. 👉🏼 Par exemple : √3 × √7 = √21. √12 ÷ √4 = √3.
Un nombre est rationnel s'il peut s'écrire sous la forme d'un quotient de deux entiers. L'ensemble des nombres rationnels se note Q. Inversement, un nombre est irrationnel lorsqu'il n'est pas rationnel, c'est à dire qu'il ne peut s'écrire sous forme de fraction.
Seuls les nombres rationnels (Q), c'est-à-dire les nombres qui peuvent s'exprimer sous forme d'une fraction de nombres entiers, ont un développement décimal fini ou un développement décimal infini et périodique. Au contraire, les nombres irrationnels ont un développement décimal infini et non périodique.
On appelle nombre rationnel tout nombre qui s'écrit sous la forme m/n où m est un entier et n un entier non nul. Donc 1/3 est un nombre rationnel comme 1/2. alors que 1/2 = 0,5 est un nombre décimal. Donc si a est un rationnel non nul, alors il existe m et n non nuls tel que a = m/n.
√3 est irrationnel, et solution d'une équation de degré 2 à coefficients entiers, donc rationnels ; √3 est donc irrationnel quadratique. Son développement en fraction continue est donc périodique.
La somme de deux nombres irrationnels peut être rationnelle ou irrationnelle. Cela dépend totalement des nombres considérés. Il en va de même pour les produits de deux irrationnels.
racine carrée de 3 =
= 1,7.