Proposition 2.1 a) Les fonctions arctan et arcsin sont impaires mais arccos n'est pas paire ; 1 Page 2 b) les fonctions arctan et arcsin sont strictement croissantes et la fonction arccos strictement décroissante.
La fonction Arcsinus est une fonction impaire.
Elle n'est pas injective, car π-périodique.
La réciproque de la fonction cosinus de base est la fonction arc cosinus qui s'intéresse à la mesure des angles (en radians) du cercle trigonométrique en fonction de l'abscisse des points du cercle. La règle de la fonction arc cosinus de base est f(x)=arccos(x).
Relation entre arc cosinus et arc sinus
En effet, π2 – arccos x est compris entre –π2 et π2 et son sinus est égal au cosinus de arccos x c'est-à-dire à x, donc π2 – arccos x = arcsin x.
Les relations Arcsinus, Arccosinus et Arctangente permettent de calculer la valeur d'un angle aigu d'un triangle rectangle dont on connaît les côtés. Voici un autre type d'exercice que l'on peut résoudre grâce aux relations trigonométriques.
La fonction Arctangente est continue et strictement croissante sur. C'est une conséquence directe du théorème des fonctions réciproques.
La courbe de la fonction cosinus est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées. La fonction cosinus est paire, ce qui signifie que pour tout x de : cos(x) = cos(–x). La courbe de la fonction sinus est symétrique par rapport au centre du repère O.
arccos . La fonction arccos est dérivable sur ]−1,1[ et sa dérivée est donnée, pour tout x∈]−1,1[, x ∈ ] − 1 , 1 [ , par (arccos)′(x)=−1√1−x2. ( arccos ) ′ ( x ) = − 1 1 − x 2 . Il faut faire attention au fait que la fonction arccos est la réciproque de la restriction de cos à l'intervalle [0,π].
La fonction réciproque de sin est notée arcsin, ou parfois sin -1. Le arc signifie arc de cercle, comme pour arccos, car là encore arcsin va correspond à un arc de cercle. Tout d'abord, la fonction sin faisant une bijection de [-π/2 ; π/2] dans [-1 ; 1], arcsin fait une bijection de [-1 ; 1] dans [-π/2 ; π/2].
Sélectionnez quelques points à représenter graphiquement. Déterminez le point sur x=2π+2πn x = 2 π + 2 π n . Remplacez la variable x x par 2π+2πn 2 π + 2 π n dans l'expression. La réponse finale est arccos(cos(2π+2πn)) arccos ( cos ( 2 π + 2 π n ) ) .
C'est une fonction trigonométrique, fonction réciproque de la fonction sinus restreinte à l'intervalle J = [-π/2, +π/2] sur lequel cette dernière est bijective puisque continue et strictement croissante de J sur [-1,+1].
La fonction cosinus est une fonction mathématique paire d'un angle. Dans un triangle rectangle, le cosinus d'un angle est le rapport de la longueur du côté adjacent par la longueur de l'hypoténuse.
On la note arcsin, sin-1 ou parfois asin. Remarque : La fonction sinus n'est pas bijective car elle prend plusieurs fois les mêmes valeurs (elle est périodique). Par exemple, elle prend la valeur 0 pour tous les multiples de π (0, π, 2π, 3π, ... et -π, -2π, ...).
Proposition 2.1 a) Les fonctions arctan et arcsin sont impaires mais arccos n'est pas paire ; 1 Page 2 b) les fonctions arctan et arcsin sont strictement croissantes et la fonction arccos strictement décroissante.
Une fonction est paire si et seulement si sa courbe représentative est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées. Une fonction est impaire si et seulement si sa courbe représentative est symétrique par rapport à l'origine du repère. On peut déterminer la parité d'une fonction par le calcul.
Une primitive pour Arccosinus.
Les deux fonctions u et v d' une intégration par parties sont alors définies par : u(x) = arccos(x). u est dérivable sur [-1 ; 1] et u'(x) = - . v'(x) = 1.
Définition, dérivation
Pour tout réel x : cos'(x) = − sin(x) et cos'(ax + b) = − a sin(ax + b). Pour tout réel x : sin'(x) = cos(x) et sin'(ax + b) = a cos(ax + b).
Dans un repère cartésien orthonormé du plan, la courbe représentative de la fonction arc sinus est obtenue à partir de la courbe représentative de la restriction de la fonction sinus à l'intervalle [–π/2, π/2] par la réflexion d'axe la droite d'équation y = x.
Remarque : On dit que la fonction cosinus est paire et que la fonction sinus est impaire. Définitions : Une fonction f est paire lorsque pour tout réel x de son ensemble de définition D, –x appartient à D et f (−x) = f (x).
a) Propriétés de parité des fonctions cosinus et sinus
$\cos(-x) = \cos(x)$. On dit que la fonction cosinus est paire. Dans un repère orthogonal, la courbe représentative de la fonction cosinus est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
La fonction tangente, quotient d'une fonction impaire par une fonction paire est donc impaire.
On dit que cette fonction est la fonction réciproque de la fonction tangente, restreinte à l'intervalle ]− π 2 ; π 2 [ . Remarque : la fonction arctan correspond à la fonction tan−1 de la calculatrice.
La valeur exacte de arctan(0) est 0 .
La valeur exacte de arctan(1) arctan ( 1 ) est π4 π 4 . La valeur exacte de arctan(0) arctan ( 0 ) est 0 0 .