Dans le cas des fonctions négatives, l'intégrale vaut bien l'aire entre la courbe et l'axe des abscisses, mais avec un signe négatif devant. Une aire reste toujours positive alors qu'une intégrale d'une fonction négative est négative.
Comme une intégrale détermine une aire, elle ne peut pas être négative. Note : on utilise une primitive sans constante inutile : on voit bien qu'elle serait soustraite à elle-même. Notez que cette fonction est négative sur l'intervalle étudié.
Si la fonction est positive sur l'intervalle d'intégration, l'intégrale est positive et donc I_{n+1}-I_{n} est positif. Si la fonction est négative sur l'intervalle d'intégration, l'intégrale est négative et donc I_{n+1}-I_{n} est négatif.
Conclure sur le signe de l'intégrale
On applique la positivité de l'intégration : Si f est positive sur \left[ a;b \right], \int_{a}^{b} f\left(x\right) \ \mathrm dx est positive. Si f est négative sur \left[ a;b \right], \int_{a}^{b} f\left(x\right) \ \mathrm dx est négative.
Théorème : L'intégrale sur un segment d'une fonction continue de signe constant est nulle si et seulement si cette fonction est nulle.
La différence entre primitive et intégrale est qu'une primitive est une fonction tandis qu'une intégrale est un réel exprimé comme une aire algébrique (pouvant être négatif).
En mathématiques, une fonction continue nulle part dérivable est une fonction numérique qui est régulière du point de vue topologique (c'est-à-dire continue) mais ne l'est pas du tout du point de vue du calcul différentiel (c'est-à-dire qu'elle n'est dérivable en aucun point).
On retiendra qu'une intégrale peut être positive ou négative mais qu'une aire, elle, est toujours positive.
Propriété de positivité
En d'autre termes, l'intégrale d'une fonction positive sur un intervalle est positive, ce qui est logique dans la mesure où elle s'interprète comme une aire (voir le début du cours).
Pour conceptualiser l'intégrale, il faut imaginer que tu resserres de plus en plus l'espace vide qui subsiste entre ces points (en en rajoutant plein), jusqu'à ce que tu passes d'un point à un autre sans voir la différence. L'intégrale est en fait une somme qui se calcule généralement sur un ensemble infini.
Elle est positive entre nos deux premiers zéros et lorsqu'elle est supérieure au troisième zéro. La fonction est négative quand elle est inférieure à notre premier zéro ou entre notre deuxième zéro et notre troisième zéro.
Rappelons que le signe d'une fonction est négatif sur un intervalle si la valeur de la fonction est inférieure à 0 sur cet intervalle. Pour résoudre cette équation d'inconnue 𝑥 , on tente de l'écrire sous la forme d'un produit de deux expressions du premier degré.
1. pour tout x ∈ I, la fonction t ↦→ f(x, t) est continue par morceaux sur J ; 2. pour tout t ∈ J, la fonction x ↦→ f(x, t) est continue sur I ; 3. il existe une fonction ϕ positive, continue par morceaux et intégrable sur J telle que: ∀(x, t) ∈ I × J,|f(x, t)| ≤ ϕ(t).
Ainsi, si a<b et que f(x)>=0 sur [a,b] alors l'intégrale de f entre a et b est positive, et si f(x)<=0 sur [a,b] alors l'intégrale de f entre a et b est négative.
Grossièrement, l'intégrale de f représente l'aire entre la courbe de f et l'axe des abscisses en comptant positivement ce qui est au-dessus et négativement ce qui en-dessous de cet axe. Si ton intégrale a l'air négative c'est que l'aire en-dessous de l'axe des abscisses est plus importante que celle qui est au-dessus.
L'aire 𝛽 sous la courbe et entre 𝑥 = 𝑎 et 𝑥 = 𝑏 est donnée par 𝛽 = 𝐹 ( 𝑏 ) − 𝐹 ( 𝑎 ) .
On dira qu'une fonction f(x) est positive sur un intervalle donné en x si, sur cet intervalle, les valeurs de f(x) sont supérieures ou égales à 0 (positives). On dira qu'une fonction f(x) est négative sur un intervalle donné en x si, sur cet intervalle, les valeurs de f(x) sont inférieures ou égales à 0 (négatives).
Soit I un intervalle de R et f:I→R f : I → R . On dit que f est uniformément continue si ∀ε>0, ∃η>0, ∀(x,y)∈I2, |x−y|<η⟹|f(x)−f(y)|<ε.
Une intégrale impropre est convergente si sa valeur est finie, dans le cas contraire elle est divergente.
Critères d'intégrabilité
Une fonction réglée est intégrable sur un intervalle fermé. En particulier on en déduit que les fonctions continues, continues par morceaux, monotones ou encore à variations bornées sont toutes intégrables sur un intervalle fermé.
Une fonction n'est pas dérivable en un réel a de son domaine si notamment la dérivée à gauche en ce point est différente de la dérivée à droite en ce même point.
Une fonction f:I→R f : I → R est donc dérivable en a si et seulement s'il existe α∈R α ∈ R et une fonction ε définie dans un intervalle J ouvert contenant 0 , vérifiant limh→0ε(h)=0 lim h → 0 ε ( h ) = 0 tels que ∀h∈J, f(a+h)=f(a)+αh+hε(h).
si la dérivée est nulle sur tout l'intervalle, la fonction est constante sur cet intervalle. Exemple : la fonction est définie sur . Sa dérivée est toujours positive (ou nulle pour x = 0). Cette fonction est donc croissante sur son domaine de définition.
Le concept d'intégrale a été raffiné depuis son introduction au XVII e siècle par Leibniz et Newton, permettant ainsi de les calculer pour des fonctions de moins en moins régulières. On rencontre ainsi aujourd'hui les intégrales dites de Riemann, de Lebesgue ou de Kurzweil-Henstock.
L'intégrale est utilisée pour calculer l'aire située sous une fonction. Cette technique est très utilisée en architecture mais aussi en probabilités continues ou même pour la construction des autoroutes.