La dérivabilité d'une fonction ne se cherche donc qu'en des points où la fonction est déjà continue. La réciproque de cette affirmation est fausse : il existe des fonctions continues en a mais non dérivables en ce point. Ainsi la fonction valeur absolue est continue en 0 mais n'est pas dérivable en ce point.
Une fonction f:I→R f : I → R est donc dérivable en a si et seulement s'il existe α∈R α ∈ R et une fonction ε définie dans un intervalle J ouvert contenant 0 , vérifiant limh→0ε(h)=0 lim h → 0 ε ( h ) = 0 tels que ∀h∈J, f(a+h)=f(a)+αh+hε(h).
Il s'agit en fait d'une propriété générale : une fonction n'est pas dérivable aux points où elle n'est pas continue.
Le mathématicien allemand Karl Weierstrass (1815 ; 1897) apporte les premières définitions rigoureuses au concept de limite et de continuité d'une fonction. Définition intuitive : Une fonction est continue sur un intervalle, si sa courbe représentative peut se tracer sans lever le crayon.
f (x0) = f1 (x0) + if2 (x0). On dit qu'une fonction f est dérivable sur un intervalle I lorsque f est dérivable en tout point de I.
Théorème Soit f une fonction définie sur un intervalle I et a ∈ I. Si f est dérivable en a Alors f est continue en a. f(x) = f(a), et donc que f est donc continue en a.
Une fonction n'est pas dérivable en un réel a de son domaine si notamment la dérivée à gauche en ce point est différente de la dérivée à droite en ce même point.
La fonction valeur absolue n'est pas dérivable en 0.
La définition de fonctions dérivables s'étend à une fonction à valeurs complexes. On démontre que f:I→C f : I → C est dérivable si et seulement Re(f) ℜ e ( f ) et Im(f) ℑ m ( f ) sont dérivables.
a) La fonction f admet une limite en x0 (c'est-`a-dire, f est continue en x0) si et seulement si elle admet f(x0) comme limite `a droite et `a gauche en x0. b) Si f admet des limites distinctes `a droite et `a gauche en x0, alors f n'admet pas de limite en x0.
* Si a = b = 0, l'expression devient : f (x) = 0 . On obtient alors la fonction nulle.
On obtient alors une fonction f : I → R. On dit que f est continûment dérivable (ou C1) au point a ∈ I si f est dérivable au voisinage de a et f est continue au point a. On dit que f est de classe C1 dans I si f est continûment dérivable en chaque point de I.
Se dit d'une fonction qui a une dérivée. (On distingue, selon les cas, les fonctions dérivables à droite ou à gauche, dérivables sur un intervalle ouvert ou fermé, dérivables n fois ou indéfiniment dérivables.)
La fonction valeur absolue n'est donc pas dérivable en 0.
Par contre : la courbe admet deux demi-tangentes en 0.
Oui. Si on note f la fonction RAC. On a lim(f) =f(0) quand x → 0. Mais f n'est pas dérivable en 0 car f '(x) = 1 / (2RAC(x)) n'est pas définie en 0 (tangente verticale).
Par exemple, la fonction racine carrée est continue sur l'intervalle mais elle n'est pas dérivable en 0 : la fonction racine carrée est dérivable sur l'intervalle .
La fonction "valeur absolue" n'est pas dérivable en 0 : le nombre dérivé à droite vaut 1, alors que le nombre dérivé à gauche vaut -1. La fonction "valeur absolue" admet des primitives sur : les fonctions de la forme x x|x|+k, k .
Une fonction est affine si elle peut s'écrire sous la forme f(x) = ax + b, où a et b sont des nombres réels. Si b = 0, alors f est une fonction linéaire. Si a = 0, alors f est une fonction constante.
a/ Pour résoudre l'inéquation f(x) < 0, on repère la portion de courbe au dessous de l'axe des abscisses (Ox) : les abscisses correspondantes donnent l'ensemble solution. Si l'inéquation à étudier est f(x) ≤ 0, on prend également les abscisses des points d'intersection. donnent l'ensemble solution.
Le nombre 1,3 x est appelé « l'image de x par la fonction f ». On note f(x) cette image, on lit « f de x » et on écrit f(x) = 1,3 x. La fonction linéaire f traduit une situation de proportionnalité et le nombre 1,3 est appelé le coefficient de f.
Notion de continuité
On dit qu'une fonction f est continue en a si lim(x→a) f(x)= f(a). On dit qu'une fonction f est continue sur un intervalle I si pour tout x_0∈I lim(x→x0)f(x) = f(x0). Une fonction continue est une fonction que l'on peut dessiner « sans lever le crayon ».
Ainsi, il suffit de dire que en dehors de ces réels 0 et 1 (c'est à dire en tout réel distinct de 0 et de 1) la fonction est bien continue (car ce sont des fonctions "usuelles"). Ensuite, il suffit de savoir si en 0, à gauche, la fonction admet une limite et si c'est la même que celle en 0, à droite (si elle existe).
On appelle discontinuité tout point du domaine d'une fonction où celle-ci n'est pas continue. L'ensemble des discontinuités d'une fonction peut être discret, dense voire être le domaine entier.