Les fonctions discontinues sont non dérivables en tout point où elles sont discontinues.
Une fonction n'est pas dérivable en un réel a de son domaine si notamment la dérivée à gauche en ce point est différente de la dérivée à droite en ce même point.
Une fonction réelle d'une variable réelle est dérivable en un point a quand elle admet une dérivée finie en a, c'est-à-dire, intuitivement, quand elle peut être approchée de manière assez fine par une fonction affine au voisinage de a.
Il s'agit en fait d'une propriété générale : une fonction n'est pas dérivable aux points où elle n'est pas continue.
y=f'(x0)*(x-x0)+f(x0) . Exemple : La fonction f : x -------------> x² est dérivable en tout point A de son domaine de définition R. La tangente T à Cf au point A(a;a²) a pour équation : y=2a(x-a)+a² c'est-à-dire y=2ax-a².
On dit qu'une fonction f est dérivable sur un intervalle I lorsque f est dérivable en tout point de I. On note f la fonction dérivée de f qui à tout x ∈I associe f (x). Si g ne s'annule pas sur I, f g est aussi dérivable sur I et ( f g ) = f g − fg g2 .
Sommaire. On peut déterminer graphiquement la valeur de la dérivée d'une fonction f en un réel a, en utilisant la tangente à la courbe représentative de f au point d'abscisse a. On considère la fonction f, dont la courbe représentative C_f est donnée ci-dessous. T_0 est la tangente à C_f au point d'abscisse 0.
Se dit d'une fonction qui a une dérivée. (On distingue, selon les cas, les fonctions dérivables à droite ou à gauche, dérivables sur un intervalle ouvert ou fermé, dérivables n fois ou indéfiniment dérivables.)
La fonction valeur absolue prenant deux valeurs différentes suivant les valeurs de x, sa dérivée fera de même. Si x < 0, sa dérivée vaut −1. Si x > 0, sa dérivée vaut 1. La fonction valeur absolue n'est pas dérivable en 0.
Si f est une fonction dérivable sur un intervalle contenant un réel a, la tangente à la courbe représentative de f au point d'abscisse a a pour équation: y = f(a) + f′(a)(x - a) .
La définition de fonctions dérivables s'étend à une fonction à valeurs complexes. On démontre que f:I→C f : I → C est dérivable si et seulement Re(f) ℜ e ( f ) et Im(f) ℑ m ( f ) sont dérivables.
Pour comprendre pourquoi ça vaut 0, et pas juste le constater, il faut simplement se rappeler que la dérivée permet de mesurer la variation de la fonction considérée. Une fonction constante, c'est une fonction qui ne varie pas, et donc naturellement elle a une dérivée nulle.
Oui. Si on note f la fonction RAC. On a lim(f) =f(0) quand x → 0. Mais f n'est pas dérivable en 0 car f '(x) = 1 / (2RAC(x)) n'est pas définie en 0 (tangente verticale).
On montre que si une fonction est dérivable en un point, elle est également continue en ce point.
si la dérivée est nulle sur tout l'intervalle, la fonction est constante sur cet intervalle. Exemple : la fonction est définie sur . Sa dérivée est toujours positive (ou nulle pour x = 0). Cette fonction est donc croissante sur son domaine de définition.
La fonction racine carrée n'est pas dérivable dans son ensemble de définition. Dérivable pour tous réels strictement positifs : sauf zéro.
Si f ^ { \prime } est strictement positive sur \text{I,} sauf pour un nombre fini de réels où elle s'annule, alors f est strictement croissante sur \text{I.} Si f ^ { \prime } est strictement négative sur \text{I,} sauf pour un nombre fini de réels où elle s'annule, alors f est strictement décroissante sur \text{I.}
Si la dérivée est d'abord positive , s' annule puis devient négative la fonction passe par un « maximum ». Si la dérivée est d'abord négative , s' annule puis devient positive la fonction passe par un « minimum ». Point d'inflexion : L'annulation de la dérivée sans changement de signe correspond à un point d'inflexion.
On obtient alors une fonction f : I → R. On dit que f est continûment dérivable (ou C1) au point a ∈ I si f est dérivable au voisinage de a et f est continue au point a. On dit que f est de classe C1 dans I si f est continûment dérivable en chaque point de I.
dérivée d'une fraction
La dérivée d'une "fraction" est: la dérivée du numérateur • le dénominateur – le numérateur • la dérivée du dénominateur, le tout divisé par le carré du dénominateur.
Si le nombre dérivé est nul, la tangente, dont le coefficient directeur est alors nul, est horizontale.
Deux droites sont parallèles si et seulement si elles ont le même coefficient directeur. Il faut donc ici que la tangente T_a ait pour coefficient directeur b. Deux droites sont parallèles si et seulement si elles ont le même coefficient directeur.
Le coefficient directeur de la tangente en un point est égal à la dérivée de la fonction de la courbe. Pour déterminer l'équation d'une droite quelconque, nous devons lire deux points de la droite ou, idéalement, l'ordonnée à l'origine et le coefficient directeur.
Soit I un intervalle ouvert, et x0∈I x 0 ∈ I . On dit que f admet une dérivée à droite en x0 si le taux d'accroissement f(x)−f(x0)x−x0 f ( x ) − f ( x 0 ) x − x 0 admet une limite quand x tend vers x0 par valeur supérieure (en restant plus grand que x0 ).
Démonstration La tangente \mathrm{T}_{\mathrm{A}} au point \text{A} d'abscisse a de \mathcal{C}_f a pour équation y=f^{\prime}(a) x+p car, par définition, f^{\prime}(a) est le coefficient directeur de cette droite.