En mathématiques, une suite arithmético-géométrique est une suite satisfaisant une relation de récurrence affine, généralisant ainsi les définitions des suites arithmétiques et géométriques.
On en déduit alors que la suite (Un) n'est pas géométrique. Finalement, (Un) n'est ni arithmétique, ni géométrique.
1 - Définition
Soient a et b deux réels. La suite (un) définie pour tout entier naturel n, par la relation de récurrence un+1=aun+b u n + 1 = a u n + b et de terme initial u0 est une suite arithmético-géométrique. Si a=1 la suite est arithmétique de raison b. Si b=0 la suite est géométrique de raison a.
Si la suite est une suite arithmétique, le nombre réel r s'appelle la raison de cette suite. Autrement dit, une suite est arithmétique si et seulement si chaque terme s'obtient en ajoutant au terme précédent un nombre réel r, toujours le même.
En mathématiques, une suite est une famille d'éléments — appelés ses « termes » — indexée par les entiers naturels. Une suite finie est une famille indexée par les entiers strictement positifs inférieurs ou égaux à un certain entier, ce dernier étant appelé « longueur » de la suite.
(un) est bien définie si ∀n, un+1 ≥ 0, c'est `a dire si un ≥ −1. Pour tout choix de u0 ∈ [−1, +∞[, on aura alors ∀n ≥ 1,un ≥ 0 (récurrence immédiate), et donc la suite sera bien définie.
Soit (un) une suite géométrique de raison q et de premier terme u1 = a, a étant un réel non nul. On a donc un = aqn−1. Pour trouver la raison d'une suite géométrique, si l'on connaît le premier et le dernier de n termes consécutifs, il faut extraire la racine (n−1)ième du quotient du dernier terme par le premier.
Une suite (un) est géométrique de raison q si, pour tout entier naturel n, on a un+1=qun. u n + 1 = q u n . Cette expression utilise la récurrence.
Un+1 - Un = [5n + 5 + 3] - [5n +3]. Un+1 - Un = [5n + 8] - [5n +3]. Un+1 - Un = 5n + 8 - 5n - 3 Un+1 - Un = 5. La différence Un+1 - Un est un réel ne dépendant pas de n (constant), donc la suite (Un) est arithmétique de raison r=5 et de premier terme U0= 3.
La règle de calcul de limite est simple : si 0<q<1 alors limqn=0. si q=1 alors limqn=1. si q>1 alors limqn=+∞.
Pour une suite géométrique de raison –0,3 et de premier terme u0 = 7, on peut écrire un = u0 × (–0,3)n et ainsi connaitre directement la valeur de n'importe quel terme de la suite. Par exemple, u4 = 7 × (–0,3)4 = 7 × 0,0081 = 0,0567.
La raison d'une suite arithmétique, dont le premier terme u1 est égal à a , est donnée par la formule : r=un−an−1 r = u n - a n - 1 . Ce résultat signifie que, pour déterminer la raison, il faut retrancher au dernier terme le premier, puis diviser le résultat obtenu par le nombre de termes diminué de 1.
Si on obtient une valeur constante alors la suite (Un) est une suite arithmétique. Si on obtient une valeur qui dépend de n alors la suite n'est pas une suite arithmétique. exemple 1- Un=3n-2. Un+1 – Un= 3(n+1)-2-(3n-2)= 3n+3-2-3n+2 = 3 donc (Un) est une suite arithmétique de raison 3.
Pour déterminer le sens de variation d'une suite (un), on peut utiliser l'une des règles suivantes : a) On étudie le signe de la différence un+1 − un. ▶ Si un+1 − un est positive, alors la suite (un) est croissante. ▶ Si un+1 − un est négative, alors la suite (un) est décroissante.
Une suite est dite constante si il existe un réel x tel que un = x pour tout n. On parle aussi de suites constantes `a partir d'un certain rang.
Les suites 'monotones' sont les suites croissantes ou décroissantes. Les suites 'strictement monotones' sont les suites strictement croissantes ou strictement décroissantes. Une suite est dite 'stationnaire' ou 'constante' si tous ses termes sont égaux.
Re : Suite strictement positive
L'idée d'une démonstration par récurrence est simple : Il faut montrer que si une propriété est vraie pour un certain rang, alors elle est vrai pour le rang suivant. Si en plus elle est vraie pour le premier rang (ici n=0), alors cette propriété est vraie.
Le terme général d'une suite arithmétique (Un) est donné par la formule suivante: Un = Up + (n-p)×r (où Up est le terme initial). Cas particulier si U0 est le terme initial, alors Un=U0+nr. Toute suite arithmétique est caractérisée par sa raison r et son premier terme.
Méthode. On considère une suite (un) définie pour tout entier naturel n par un+1=f(un) où f est une fonction donnée. De plus, le premier terme u0 est également connu. Si l'exercice demande de calculer u1, on peut se servir de la relation un+1=f(un) en remplaçant n par 0.
La raison d'une suite arithmétique
Une suite arithmétique est une suite où chacun des termes est égal à la somme du terme précédent et d'un nombre fixe. Ce nombre fixe s'appelle la raison de la suite.
La somme des termes consécutifs d'une suite arithmétique est la moyenne du premier et du dernier terme (donc leur somme divisée par 2), multipliée par le nombre de termes.
Si une suite s'exprime sous la forme explicite u n = A × B n , alors cette suite est géométrique de raison .