On dit quelques fois que "la suite converge vers +∞ (ou -∞)" mais une suite qui tend vers +∞ ou vers -∞ n'est pas convergente. Une suite divergente peut-être une suite qui tend vers une limite mais elle peut aussi être une suite qui n'a pas de limite.
Limite infinie
contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang). On dit qu'une suite tend vers –∞ si tout intervalle de la forme ]–∞, A[ contient tous les termes de la suite sauf un nombre fini d'entre eux.
Pour trouver la limite d'une série, il faut déterminer l'expression de sa somme partielle et d'étudier la suite définie par cette somme partielle.
Si une suite est strictement croissante alors elle tend vers +∞ Faux : 1 − 1 n , ou −e−n. 4. Si une suite tend vers +∞ alors elle n'est pas majorée Vrai.
Conclure. Si le quotient est supérieur ou égal à 1 pour tout n, la suite est croissante. Si le quotient est inférieur ou égal à 1 pour tout n, la suite est décroissante. Si la position du quotient par rapport à 1 varie en fonction de la valeur de n, la suite n'est pas monotone.
Définition : Limite à l'infini
Si les valeurs de 𝑓 ( 𝑥 ) s'approchent d'une valeur finie 𝐿 lorsque la valeur de 𝑥 tend vers l'infini, alors on dit que la limite de 𝑓 ( 𝑥 ) lorsque 𝑥 se rapproche de l'infini positif existe et est égale à 𝐿 et on note l i m → ∞ 𝑓 ( 𝑥 ) = 𝐿 .
Théorème : Limites d'une suite géométrique
Pour tout entier naturel n, v n = v 0 × q n v_n=v_0 \times q^n vn=v0×qn , avec v 0 v_0 v0 le premier terme de la suite.
une suite bornée n'est pas nécessairement convergente (contre-exemple : un = (–1)n est bornée — majorée par 1 et minorée par –1 — mais n'admet pas de limite) ; pour qu'une suite tende vers ±∞, il ne suffit pas qu'elle soit non bornée (contre-exemple : la suite qui vaut 0 pour n pair, et n pour n impair).
Le zéro est alors appelé sunya ce qui signifie le vide. Au XIIe siècle, le mathématicien indien Bhaskara parvient à établir que 1/0 = l'infini. Il démontre ainsi, la relation qui existe entre le vide et l'infini. Au IXe siècle, les Arabes emprunteront aux Indiens le zéro, le mot sunya devenant sifr.
Exemple : Considérons une suite numérique (un) où la différence entre un terme et son précédent reste constante et égale à 5. Si le premier terme est égal à 3, les premiers termes successifs sont : u0 = 3, u1 = 8, u2 = 13, u3 = 18. Une telle suite est appelée une suite arithmétique de raison 5 et de premier terme 3.
Autrement dit, il faut montrer que le quotient est constant : Pour montrer qu'une suite n'est pas géométrique, il suffit de montrer que, sur les premiers termes par exemple, le quotient n'est pas constant.
Une suite est dite divergente si elle n'est pas convergente. Il existe deux sortes de suites divergentes : celles qui tendent vers l'infini et celles qui n'ont pas de limite.
Aucune difficulté pour connaître la limite d'une suite arithmétique : −∞ si la raison est strictement négative, +∞ si elle est strictement positive. La suite est constante si la raison est nulle (seul cas où une suite arithmétique converge).
Si les valeurs de 𝑓 ( 𝑥 ) ne tendent pas vers une valeur 𝐿 ∈ ℝ quand les valeurs de 𝑥 tendent vers 𝑎 des deux côtés, alors on dit que la limite de 𝑓 ( 𝑥 ) quand 𝑥 tend vers 𝑎 n'existe pas.
Les cas indéterminés sont: zéro divisé par zéro, infini divisé par infini, zéro multiplié par infini, infini moins infini, zéro exposant zéro, infini exposant zéro et un exposant infini.
Il est clair que / admet une limite en a si et seulement si / admet une limite à gauche et à droite en a et / (a) = /- (a) (et alors lim xªa /(x) est égale à cette valeur commune).
Rappelons que 0 0 est une forme indéterminée, et que ce n'est pas une réponse acceptable pour un problème de recherche de limite. Cela nous indique que nous devons utiliser une méthode différente pour déterminer cette limite. Le numérateur et le dénominateur sont tous deux égaux à zéro en 𝑥 = 4 .
D'une certaine manière, mathématiquement, l'infini, c'est ça : pouvoir toujours ajouter 1 à n'importe quel nombre, aussi grand soit-il, et construire ainsi des nombres de plus en plus grands. On en vient donc à la conclusion qu'il n'y a pas de nombre plus grand que tous les autres.
Pourquoi, lors du calcul d'une limite, la forme 1 puissance l'infini est une forme indéterminée ? Parce que 1∞ peut prendre n'importe quelle valeur réelle entre 0 et l'infini. Vous avez eu l'exemple de la suite (1+x/n)n ( 1 + x / n ) n qui tend vers ex quand n tend vers l'infini. Pourtant 1+x/n 1 + x / n tend vers 1.
a) la suite (un) est croissante si pour tout n ∈ : un ⩽ un+1 ; b) la suite (un) est décroissante si pour tout n ∈ : un ⩾ un+1 ; c) la suite (un) est monotone si elle est croissante ou décroissante ; d) la suite (un) est constante si pour tout n ∈ : un+1 = un.
1. Uniformité de ton, d'intonation, d'inflexion : Monotonie de la voix. 2. Manque lassant de variété, de diversité : La monotonie d'un paysage.