➔ Le nombre Δ = b2 - 4ac est appelé discriminant de l'équation (appellation due à Sylvester en 1851, du latin discrimen = séparation) : l'étude de son signe permet de conclure quant au nombre et aux valeurs des racines de l'équation.
Calcul du discriminant : ∆ = b2 −4ac = ( √2)2 −4(1)(1) = −2. Le discriminant est strictement négatif, la règle est donc "toujours du signe de a", c'est à dire toujours positif car a = 1.
Le discriminant est utilisé dans d'autres domaines que celui de l'étude des polynômes. Son usage permet de mieux comprendre les coniques et les quadriques en général. On le retrouve dans l'étude des formes quadratiques ou celle des corps de nombres dans le cadre de la théorie de Galois ou celle des nombres algébriques.
On a dû vous expliquer que lorsqu'on avait un polynôme du second degré, du type ax^2+bx+c et que vous recherchez les racines, c'est-à-dire lorsque ce polynôme s'annule, on cherche un delta majuscule qu'on appelle Discriminant tel que \Delta = b^2 - 4ac et on regarde son signe.
+ β , où α et β sont deux nombres réels. Cette dernière écriture s'appelle la forme canonique de f. avec α = − b 2a et β = − b2 − 4ac 4a .
La forme canonique d'une fonction polynôme s'obtient par la méthode de complétion du carré. La forme canonique permet d'obtenir le maximum ou le minimum d'une fonction polynôme, le sens et l'axe de symétrie de sa parabole associée.
Factorisation : la forme canonique se factorise grâce à l'identité a2−b2 a 2 − b 2 =(a−b)(a+b). = ( a − b ) ( a + b ) . ⇔f(x)=2(x−3)(x+2).
Le signe de Δ indique le nombre de racines réelles : si Δ > 0 , alors il y a deux solutions réelles distinctes ; si Δ = 0 , alors il y a une solution réelle répétée ; si Δ < 0 , alors il n'y a pas de solutions réelles.
Si Δ=0 : l'équation devient (x+2ab)2=0 et admet la solution −2ab.
La lettre Δ (delta majuscule de l'alphabet grec) correspond à une variation au sens le plus général, c'est-à-dire à une différence entre deux quantités. Par exemple, si on mesure la taille (la hauteur H en cm) d'un enfant à deux âges différents, on pourrait constater qu'il est passé de 120 cm à 140 cm .
Définition : On appelle discriminant du trinôme ax2 + bx + c , le nombre réel, noté A, égal à b2 − 4ac . Exemple : Le discriminant de l'équation 3x2 − 6x − 2 = 0 est : ∆ = (-6)2 – 4 x 3 x (-2) = 36 + 24 = 60.
(Algèbre) Symbole désignant le discriminant d'une équation du second degré. (Géométrie) Symbole fréquemment utilisé pour désigner une droite. Il est alors en général écrit entre parenthèses.
Un polynôme du second degré P(x) = ax² + bx + c admet au plus deux racines. Le nombre exact de ses racines est déterminé par le signe d'un expression notée Δ qu'on appelle le discriminant. Δ = b² - 4ac.
L'humour au second degré, cette façon de plaisanter en laissant sous-entendre que l'on ne pense pas tout à fait ce que l'on dit, est devenu un exercice qui se pratique à ses risques et périls. En novembre, le philosophe Alain Finkielkraut en a fait l'expérience.
On calcule le discriminant Δ = b2 – 4ac de la fonction polynôme f définie par f(x) = ax2 + bx + c. Étudier le signe du discriminant Δ. Si Δ < 0, alors cette équation n'admet pas de solutions réelles. Si Δ = 0, alors cette équation admet une solution unique .
On appelle trinôme du second degré en x à coefficients réels l'expression a x 2 + b x + c . Quand elles existent, les solutions réelles de l'équation du second degré (E) : a x 2 + b x + c = 0 sont appelées racines réelles du trinôme.
Le début d'une véritable théorie des équations est généralement attribué à Viète, mathématicien français de la fin du XVI e siècle.
Les équations du second degré ont été étudiées systématiquement par Al-Khwarizmi au IX e siècle, dans un ouvrage intitulé Abrégé du calcul par la restauration et la comparaison qui, via le mot « restauration » (en arabe : al-jabr) a donné son nom à l'algèbre.
On peut remarquer que √0=0, √1=1, √4=2, √9=3, √16=4, …
On note f'(x0) cette limite et on l'appelle le nombre dérivé de f en x0. Le rapport dit taux d'accroissement (ou de variation) de f au voisinage de x0 est le coefficient directeur de la droite passant par M(x0;f(x0)) et M'(x0+h;f(x0+h)).
Une racine est dite simple si elle est d'ordre 1, double si elle est d'ordre 2,. . . D'une mani`ere générale, l'entier r est appelé ordre de multiplicité de la racine. Exemple.
3.1 Factorisation d'un polynôme
Déterminer les réels a, b et c tels que, pour tout x de R, on ait : f (x) = (x −1)(ax2 +bx +c). Réponse : pour tout x de R : On identifie les coefficients des termes de même degré. a b c = = = 1 −1 2 Conclusion : pour tout x de R, f (x) = (x −1)(x2 −x +2).
Lorsque b est positif (b>0) :
La parabole se déplace vers la gauche et vers le bas si a>0 . Elle se déplace vers la droite et vers le haut si a<0 . Dans l'exemple suivant, les valeurs de a et c sont fixes (a=1 et c=0) et la valeur de b varie.
La forme (1) est dite forme développée : elle permet de reconnaître que f(x) est de la forme ax2 + bx + c. La forme (2) est dite forme canonique : elle permet de montrer que f admet 5 comme maximum sur ℝ, atteint pour x = 1. Pour le montrer, on observe que : pour tout réel x, on a (x − 1)2 ⩾ 0, d'où −2(x − 1)2 ⩽ 0.
Tout polynôme du second degré peut se mettre sous la forme : f ( x ) = a ( x − α ) 2 + β où α = − b 2 a et β = f ( α ) .