Propriété : Deux vecteurs colinéaires non nuls ont la même direction. Conséquences géométriques : Dire que les vecteurs et sont colinéaires signifie que les points A, B, C sont alignés. Dire que les vecteurs non nuls et sont colinéaires signifie que les droites (AB) et (CD) sont parallèles.
les vecteurs ont la même direction ou bien l'un des deux vecteurs est le vecteur nul 0 ; les vecteurs u et v sont colinéaires si et seulement si il existe un nombre réel k tel que u → = k v → \overrightarrow{u}=k\overrightarrow{v} u =kv .
Trois points A, B et C sont alignés si et seulement si les vecteurs A B → \overrightarrow{AB} AB et A C → \overrightarrow{AC} AC sont colinéaires. C'est-à-dire : « A, B et C sont alignés si et seulement s'il existe un réel k tel que A C → = k A B → \overrightarrow{AC} = k \overrightarrow{AB} AC =kAB ».
Étymologiquement, colinéaire signifie sur une même ligne : en géométrie classique, deux vecteurs sont colinéaires si on peut en trouver deux représentants situés sur une même droite. sont parallèles. Cette équivalence explique l'importance que prend la colinéarité en géométrie affine.
On trouve les coordonnées de chaque vecteur. On regarde si les coordonnées des vecteurs sont proportionnelles. Si les coordonnées sont proportionnelles, alors les vecteurs sont colinéaires. Si les coordonnées ne sont pas proportionnelles, alors les vecteurs ne sont pas colinéaires.
Propriété : Deux vecteurs colinéaires non nuls ont la même direction. Conséquences géométriques : Dire que les vecteurs et sont colinéaires signifie que les points A, B, C sont alignés. Dire que les vecteurs non nuls et sont colinéaires signifie que les droites (AB) et (CD) sont parallèles.
Solution détaillée. Les trois points A 1 , A 2 , A 3 sont alignés si et seulement si les vecteurs A 1 A 2 → et A 1 A 3 → sont colinéaires, donc si et seulement si le déterminant des vecteurs A 1 A 2 → , A 1 A 3 → , est nul.
les vecteurs ont la même direction ou bien l'un des deux vecteurs est le vecteur nul 0 ; les vecteurs u et v sont colinéaires si et seulement si il existe un nombre réel k tel que u → = k v → \overrightarrow{u}=k\overrightarrow{v} u =kv .
Deux vecteurs sont égaux si ils ont la même direction, le même sens et la même norme. Cela signifie que si deux vecteurs →AB et →CD sont égaux, alors le quadrilatère ABDC est un parallélogramme (Attention à l'ordre des lettres ! Il s'agit du quadrilatère ABDC et non ABCD.)
Réponse. On rappelle que deux droites sont parallèles si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires. À partir des équations vectorielles de 𝐷 et 𝐷 , on obtient les vecteurs directeurs ( 1 ; − 1 ; 1 ) pour 𝐷 et ( − 2 ; − 3 ; 0 ) pour 𝐷 .
2) Les vecteurs u, v et w sont non coplanaires ssi ils forment une base de l'espace, c'est à dire ssi au+bv+cw=0 implique a=b=c=O. Donc, on peut écrire le système d'équation à trois inconnues orrespondant à au+bv+cw=0. S'il a une solution non triviale, les vecteurs sont coplanaires, sinon ils ne le sont pas.
L'espace vectoriel R 3 a pour dimension 3 . La partie { u , v , w } contient exactement trois vecteurs, aussi, pour démontrer que ( u , v , w ) est une base de R 3 , il suffit de démontrer que la partie { u , v , w } est une partie libre. Le triplet ( 0 , 0 , 0 ) est l'unique solution du système ( S ) .
Produit scalaire et vecteurs colinéaires
Si ⃗ AB et ⃗ CD sont deux vecteurs colinéaires non nuls, alors : 1er cas, vecteurs de même sens : ⃗ ⋅ C D ⃗ = A B × C D \vec {AB}\cdot \vec {CD}=AB\times CD AB ⋅CD =AB×CD.
Deux vecteurs →u et →v de l'espace sont orthogonaux si et seulement si →u. →v=0. . Deux droites D et Δ de vecteurs directeurs respectifs →u et →v sont dites orthogonales lorsque →u et →v le sont.
On appelle vecteur normal de (P) tout vecteur (non nul) orthogonal à tous les vecteurs directeurs du plan. Généralement, on peut obtenir un vecteur normal de deux façons différentes : en faisant le produit vectoriel de deux vecteurs directeurs non colinéaires du plan; à partir d'une équation cartésienne du plan.
D C F E A D B C Page 5 5 sur 19 Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr Définition : Deux vecteurs sont opposés lorsqu'ils ont la même direction, la même longueur et qu'ils sont de sens contraire.
Propriétés : Les points A, B et C sont alignés si et seulement si les vecteurs ⃗ AB et ⃗ AC sont colinéaires. Les droites (AB) et (CD) sont parallèles si et seulement si les vecteurs ⃗ AB et ⃗ CD sont colinéaires.
La direction d'un vecteur est déterminée par une demi-droite, appelée support du vecteur dont le sens est celui allant de l'origine de la demi-droite vers l'infini. Si le phénom`ene qu'ils modélisent est bidimensionnel, les vecteurs vivent dans R2, s'il est tridimensionnel, ils vivent dans R3.
Pour faire simple disons que la direction est l'orientation d'un segment dans l'espace et son sens un des côtés du segment, par exemple la direction verticale, horizontale, oblique (par rapport au sol) et son sens sera le haut, le bas, l'ouest, etc.
Definition. - par convention, le vecteur nul est orthogonal à tout vecteur. Les vecteurs et sont dits orthogonaux si les droites (AB) et (AC) sont perpendiculaires.
Un vecteur est défini par un sens, une direction et une norme. La direction du vecteur est celle de la 'droite' dans laquelle est inclus le vecteur, le sens est donné par l'orientation du segment: 'vers la gauche' ou bien 'vers la droite', la norme correspond à la longueur du segment.
En géométrie euclidienne, l'alignement peut être caractérisé par un cas d'égalité de l'inégalité triangulaire : trois points sont alignés si l'un d'entre eux (que l'on peut noter B) appartient au segment joignant les deux autres (notés A et C), autrement dit si les distances satisfont la relation AB + BC = AC.
Points alignés
On dit que trois points ou plus sont alignés s'ils sont sur une même droite. A, B et C sont alignés car A, B et C sont sur la même droite (d).
Des points sont alignés quand ils appartiennent à une même droite. Dans ce cas, on parle d'un alignement. Les points E, F et G sont alignés car, lorsque l'on trace une droite, on remarque que tous ces points appartiennent à la droite. Un alignement produit toujours le plus court chemin entre deux points.