Aire sous la courbe dans le cas des fonctions non positives Dans le cas des fonctions négatives, l'intégrale vaut bien l'aire entre la courbe et l'axe des abscisses, mais avec un signe négatif devant. Une aire reste toujours positive alors qu'une intégrale d'une fonction négative est négative.
Déterminer l'aire sous la courbe représentative d'une fonction est une technique très utile qui a de nombreuses applications. Par exemple, calculer l'aire sous un graphique vecteur vitesse-temps d'un objet entre deux points dans le temps donne la distance totale parcourue pendant cet intervalle.
Grossièrement, l'intégrale de f représente l'aire entre la courbe de f et l'axe des abscisses en comptant positivement ce qui est au-dessus et négativement ce qui en-dessous de cet axe. Si ton intégrale a l'air négative c'est que l'aire en-dessous de l'axe des abscisses est plus importante que celle qui est au-dessus.
L'intégrale est utilisée pour calculer l'aire située sous une fonction. Cette technique est très utilisée en architecture mais aussi en probabilités continues ou même pour la construction des autoroutes.
Si, pour tout entier naturel n, I_{n+1}-I_{n}\geqslant 0, on en déduit que la suite est croissante. Si, pour tout entier naturel n, I_{n+1}-I_{n}\leqslant 0, on en déduit que la suite est décroissante.
Pour montrer qu'une fonction f(x) est croissante, il suffit de montrer f(x + a) > f(x) si a est strictement positif ou ce qui revient au même que f(x + a) - f(x) > 0 si a > 0. Avec f(x) = x3 on y arrive comme suit : (x+a)3−x3=x3+3ax2+3a2x+a3−x3.
Lorsqu'on se promène sur la courbe en allant de la gauche vers la droite : Sur l'intervalle [0 ; 2,5], on monte, on dit que la fonction est croissante.
Le concept d'intégrale a été raffiné depuis son introduction au XVII e siècle par Leibniz et Newton, permettant ainsi de les calculer pour des fonctions de moins en moins régulières. On rencontre ainsi aujourd'hui les intégrales dites de Riemann, de Lebesgue ou de Kurzweil-Henstock.
Pour conceptualiser l'intégrale, il faut imaginer que tu resserres de plus en plus l'espace vide qui subsiste entre ces points (en en rajoutant plein), jusqu'à ce que tu passes d'un point à un autre sans voir la différence. L'intégrale est en fait une somme qui se calcule généralement sur un ensemble infini.
Théorème : L'intégrale sur un segment d'une fonction continue de signe constant est nulle si et seulement si cette fonction est nulle.
L'intégrale définie de la fonction 𝑓 ( 𝑥 ) entre 𝑥 = 𝑎 et 𝑥 = 𝑏 peut être interprété comme étant l'aire algébrique sous la courbe représentative de 𝑓 ( 𝑥 ) entre 𝑥 = 𝑎 et 𝑥 = 𝑏 ; on donne une représentation graphique d'une intégrale sur la figure ci-dessous.
La fonction t↦∫b(t)a(t)f(x,t)dx pour t∈T est 'bien définie' si l'intégrale existe pour toutes les valeurs de t dans l'intervalle T.
Théorème (théorème fondamental du calcul intégral) : Si f est une fonction continue et positive sur [a,b] , alors la fonction F définie sur [a,b] par F(x)=∫xaf(t)dt F ( x ) = ∫ a x f ( t ) d t est dérivable sur [a,b] , et a pour dérivée f .
L'aire sous la courbe ROC (ou Area Under the Curve, AUC) peut être interprétée comme la probabilité que, parmi deux sujets choisis au hasard, un malade et un non-malade, la valeur du marqueur soit plus élevée pour le malade que pour le non-malade.
Points Clés. L'aire délimitée par deux courbes d'équations 𝑦 = 𝑓 ( 𝑥 ) et 𝑦 = 𝑔 ( 𝑥 ) telles que 𝑓 ( 𝑥 ) est strictement supérieure à 𝑔 ( 𝑥 ) sur l'intervalle [ 𝑎 ; 𝑏 ] , et par les deux droites verticales d'équations 𝑥 = 𝑎 et 𝑥 = 𝑏 est donnée par 𝑓 ( 𝑥 ) − 𝑔 ( 𝑥 ) 𝑥 d .
Dans le cas des fonctions négatives, l'intégrale vaut bien l'aire entre la courbe et l'axe des abscisses, mais avec un signe négatif devant. Une aire reste toujours positive alors qu'une intégrale d'une fonction négative est négative.
La différence entre primitive et intégrale est qu'une primitive est une fonction tandis qu'une intégrale est un réel exprimé comme une aire algébrique (pouvant être négatif).
L'intégrale est une forme linéaire sur cet espace. Nous introduisons la notion de convergence simple et de convergence uniforme d'une suite de fonctions.
Soit I un intervalle de R et f:I→R f : I → R . On dit que f est uniformément continue si ∀ε>0, ∃η>0, ∀(x,y)∈I2, |x−y|<η⟹|f(x)−f(y)|<ε.
Le premier moment de l'histoire des mathématiques s'identifie néanmoins aux Grecs, qui, à partir du VIe siècle avant J. -C., vont faire de cette discipline plus qu'un outil, un idéal de pensée. C'est généralement à Thalès de Milet que l'on accorde la paternité de la géométrie, et le début des mathématiques grecques.
Al-Khwarizmi, dont le nom a été latinisé en Algoritmi, est considéré de nos jours comme le père de l'algèbre et le fondateur des mathématiques arabes.
La surface comprise entre la courbe d'équation y = exp(−x2) et l'axe des abscisses vaut √π. où α est un paramètre réel strictement positif. Elle intervient dans la définition de la loi de probabilité appelée loi gaussienne, ou loi normale.
La tendance générale : Pour cela, reliez virtuellement ( ou à l'aide de pointillés discrets) les 2 extrémités de la courbe. Si votre regard monte, elle est CROISSANTE. A l'inverse, si votre regard descend, elle est DECROISSANTE. Enfin, si les deux extrémités sont identiques, elle est STABLE.
En mathématiques, une fonction monotone est une fonction entre ensembles ordonnés qui préserve ou renverse l'ordre. Dans le premier cas, on parle de fonction croissante et dans l'autre de fonction décroissante.
Pour trouver le maximum d'une fonction sur un intervalle , il faut : déterminer la dérivée de la fonction, ; résoudre l'équation f ′ ( x ) = 0 ; vérifier qu'il s'agit d'un maximum en testant d'autres valeurs de la fonction, ou en utilisant la dérivée seconde.