Par exemple, les fonctions Sinus et Cosinus permettent de décrire les sons produits par les instruments de musique. La trigonométrie est donc une base pour étudier la musique et l'harmonie des sons ! Plus généralement, les fonctions de trigonométrie servent pour décrire la propagation de toutes sortes d'ondes.
Les rapports trigonométriques nous disent que le sinus de l'angle 𝜃 est égal au côté opposé sur l'hypoténuse. Le cosinus de l'angle 𝜃 est égal au côté adjacent sur l'hypoténuse. Et la tangente de l'angle 𝜃 est égal au côté opposé sur le côté adjacent. Une façon de s'en souvenir est d'utiliser l'acronyme SOHCAHTOA.
Pour les non scientifiques, la trigonométrie est connue principalement pour ses applications aux problèmes de mesure, cependant elle est aussi souvent employée dans des matières insoupçonnées comme en théorie de la musique ou en théorie des nombres de manière encore plus technique.
La loi des sinus permet de trouver la mesure d'un côté ou d'un angle dans un triangle quelconque. Pour ce faire, il faut connaitre la mesure d'un angle, de son côté opposé et d'un autre côté ou d'un autre angle.
La notion de tangente permet d'effectuer des approximations : pour la résolution de certains problèmes qui demandent de connaître le comportement de la courbe au voisinage d'un point, on peut assimiler celle-ci à sa tangente. Ceci explique la parenté entre la notion de tangente et le calcul différentiel.
Généralement, on utilise la loi des cosinus dans deux situations : lorsqu'on connait les mesures de deux côtés et de l'angle qu'ils forment dans le triangle ce qui permet de trouver la mesure du troisième côté (comme dans le triangle de gauche ci-dessous);
Si une droite est tangente à un cercle, tout point de la droite est situé à l'extérieur du cercle, à l'exception du point de contact qui se trouve sur le cercle. On sait que la distance entre le centre d'un cercle et un point extérieur au cercle doit être supérieure au rayon du cercle.
La trigonométrie s'applique aux triangles rectangles.
Les formules trigonométriques permettent de : Déduire la longueur de deux côtés lorsqu'on connaît la longueur d'un côté et la mesure d'un angle. Calculer la mesure des angles lorsqu'on connaît la longueur de deux côtés.
On retiendra la petite astuce mnémotechnique : SOHCAHTOA. Elle permet de retenir les trois formules : sinus = opposé / hypoténuse, cosinus = adjacent / hypoténuse et tangente = opposé / adjacent. Le cosinus, le sinus et la tangente d'un angle n'ont pas d'unité.
Le sinus de l'un est égal au cosinus de l'autre et réciproquement. On va démontrer que le sinus d'un angle est égal au cosinus de son complémentaire.
But de la trigonométrie :
1°) La trigonométrie apprend à déterminer par le calcul les éléments inconnus d'un triangle, alors que la géométrie fournit surtout des solutions graphiques du même problème. Cette détermination des angles et des côtés d'un triangle 'par le calcul, est appelée « résolution » du triangle.
Tout d'abord utilisée en astronomie et en navigation (pour les méthodes de triangulation), la trigonométrie est utilisée dans les temps modernes dans de très nombreux domaines (physique, électricité, électronique, mécanique, acoustique, optique, géographie, géodésie, cartographie ….).
L'expression fonction trigonométrique est un terme général utilisé afin de désigner, entre autres, l'une ou l'autre des fonctions suivantes: sinus, cosinus, tangente, sécante, cosécante, cotangente. On appelle aussi ces fonctions des fonctions circulaires.
Le théorème de Pythagore s'applique au triangle rectangle seulement et permet de calculer un côté de celui-ci lorsque l'on connaît les deux autres.
Pour mesurer un angle, on utilise un rapporteur. La plupart des rapporteurs sont gradués en degré (°) avec une double graduation : de 0 à 180° de gauche à droite sur la graduation extérieure ; et de 0 à 180° de droite à gauche sur la graduation intérieure.
Dans le cas d'un triangle rectangle ABC rectangle en B, le sinus de l'angle A est égal à la longueur du côté opposé à l'angle A divisée par la longueur de l'hypoténuse, donc sin A = BC/AC.
L'astronome grec Hipparque est considéré par beaucoup comme le père de la trigonométrie. Au cours de sa vie, aux alentours de l'an 120 av. J. -C., il crée une table de cordes tirées du centre d'un cercle qui forment des angles dont il tire des formules trigonométriques.
L'astronome et mathématicien indien Aryabhata (476-550), dans son ouvrage Arya-Siddhanta, définit pour la première fois le sinus (moderne) à partir de la relation entre la moitié d'un angle et la moitié d'une corde, tout en définissant également le cosinus, le contre-sinus (ou sinus verse), et l'inverse du sinus.
Dans un triangle rectangle, le cosinus d'un angle, noté « cos », est égal au rapport (quotient) de la longueur du côté adjacent à cet angle sur la longueur de l'hypoténuse.
La cosécante est l'inverse du sinus. La sécante est l'inverse du cosinus. La cotangente est l'inverse de la tangente.
Ils ressemblent à deux triangles, leurs deux bases collées l'une à l'autre au niveau du nez et leurs sommets pointant au milieu de l'arcade sourcilière. Les sinus ethmoïdaux sont situés de chaque côté du nez, en arrière de sa racine, au niveau des yeux.
Pour calculer la mesure d'un angle avec le cosinus, on utilise l'inverse du cosinus. Par exemple, on cherche à calculer ABC avec AB = 1 et BC = 2. Sur la calculatrice, il faut utiliser la touche cos-1 ou bien la touche Arccos. = 2 Le cosinus permet également de calculer la longueur d'un côté d'un triangle.
De même, la tangente s'utilise dans les triangles rectangles. Dans le cas d'un triangle rectangle ABC rectangle en B, la tangente de l'angle A est égale à la longueur du côté opposé à l'angle A divisée par la longueur du côté adjacent à l'angle A, donc tan A = BC/BA.
Dans un triangle rectangle, la tangente d'un angle est égale au rapport de la longueur du côté opposé à cet angle sur la longueur du côté adjacent à ce même angle.
y=f′(a)(x−a)+f(a).