Vecteur opposé et différence de deux vecteurs AB+⃗ BA=⃗ AA=⃗0 . Définition : A et B désignent deux points du plan. B A est appelé vecteur opposé du vecteur ⃗ AB et noté −⃗ AB . AB et−⃗ AB ont même direction, même norme mais sont de sens contraires.
D C F E A D B C Page 5 5 sur 19 Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr Définition : Deux vecteurs sont opposés lorsqu'ils ont la même direction, la même longueur et qu'ils sont de sens contraire.
Deux vecteurs non nuls sont égaux si et seulement si ils ont la même direction, le même sens et la même norme.
Graphiquement, deux vecteurs sont égaux s'ils ont le même sens, la même direction et la même norme. Inversement, si deux vecteurs ont le même sens, la même direction et la même norme, alors ils sont égaux. Une égalité de vecteurs permet aussi de montrer qu'un quadrilatère est un parallélogramme.
Lorsque deux vecteurs ont même direction (ce qui correspond à "parallèles") on dit que les vecteurs sont colinéaires. Ainsi, deux vecteurs et sont colinéaires s'il existe un nombre k tel que c'est à dire qu'un vecteur est un multiple de l'autre.
On rappelle que deux vecteurs \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} sont colinéaires si et seulement s'il existe un réel k tel que \overrightarrow{u} = k\overrightarrow{v}.
possède trois éléments caractéristiques : sa direction (droite (AB)) ; son sens (il y a deux sens possibles de parcours de la droite (AB) : de A vers B ou de B vers A) ; sa norme (ou sa longueur, la longueur du segment [AB]).
Vecteurs opposés
On dit que les vecteurs A B → et B A → sont opposés et on note A B → = − B A → .
Les vecteurs équipollents (égaux)
Deux vecteurs sont équipollents (ou égaux) lorsqu'ils ont la même norme, la même direction et le même sens.
Étymologiquement, colinéaire signifie sur une même ligne : en géométrie classique, deux vecteurs sont colinéaires si on peut en trouver deux représentants situés sur une même droite. sont parallèles. Cette équivalence explique l'importance que prend la colinéarité en géométrie affine.
Si, pour n'importe quel nombre choisi, deux expressions littérales donnent le même résultat, alors on dit que ces expressions littérales sont égales. Exemples : Pour n'importe quel nombre choisi pour x on a x+7=2x+10−x−3 donc les expressions x+7 et 2x+10−x−3 sont égales. +21 et B=7(x2 +2)+7 sont égales.
Afin qu'un point respecte une égalité vectorielle, ses coordonnées doivent elles-même être solutions d'équations, que l'on peut déterminer à partir de l'équation vectorielle. Soit le repère \left(O;I,J\right). On donne les points A\left(2;4\right), B\left(1;-3\right) et C \left(5;-5\right).
Pour calculer les coordonnées de la différence de deux vecteurs, on soustrait les coordonnées de chacun des vecteurs. Pour calculer les coordonnées du produit d'un vecteur par un scalaire, on multiplie chacune des coordonnées par le scalaire.
Les segments [AB] et [CD] sont deux diamètres d'un même cercle de centre O. Quelle est la nature du quadrilatère ACBD ? On peut dire que ACBD est un parallélogramme car ses diagonales [AB] et [CD] ont le même milieu O. De plus, ACBD est un rectangle car ses diagonales ont même longueur.
On peut construire géométriquement un représentant de la somme \overrightarrow{w} de deux vecteurs \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} grâce à la méthode du parallélogramme. En utilisant la méthode du parallélogramme, tracer un représentant de \overrightarrow{w} = \overrightarrow{u }+\overrightarrow{v}.
La norme d'un vecteur correspond à sa longueur, c'est-à-dire à la distance qui sépare les deux points qui définissent le vecteur.
On trouve les coordonnées de chaque vecteur. On regarde si les coordonnées des vecteurs sont proportionnelles. Si les coordonnées sont proportionnelles, alors les vecteurs sont colinéaires. Si les coordonnées ne sont pas proportionnelles, alors les vecteurs ne sont pas colinéaires.
Les caractéristiques d'un vecteur sont sa direction, son sens et sa norme. Un vecteur qui a le même point pour origine et pour extrémité est appelé vecteur nul et est noté . Ce vecteur n'a pas de direction, pas de sens et sa norme est égale à 0. Deux vecteurs égaux ont la même direction, le même sens et la même norme.
Remarques : Deux vecteurs non nuls sont colinéaires si et seulement s'ils ont la même direction. Le vecteur est colinéaire à tout vecteur du plan.
Exemple : L'inverse de 10 est 0,1 car 10x0,1 = 1! 2) L'opposé: L'opposé d'un nombre est ce même nombre avec le signe opposé! Exemple : L'opposé de 10 est -10!
opposés : deux nombres opposés ont la même valeur absolue et des signes différents. inverses : deux nombres inverses sont deux nombres qui ont pour produit 1. 1 est positif, donc deux nombres inverses ont le même signe ; 0 n'a pas d'inverse.
Pour calculer la norme d'un vecteur en deux dimensions, nous utilisons le théorème de Pythagore. Étant donné le vecteur v → = ( v x v y ) , la norme de ce vecteur se calcule grâce à la formule ‖ v → ‖ = v x 2 + v y 2 .
Le « couple » est (par définition) le produit vectoriel associé à un tel « couple de forces », ou de manière équivalente, la somme des produits moments de ces forces par rapport à un point quelconque. sont orthogonaux.
Un vecteur est un objet mathématique caractérisé par : Une direction. Un sens. Une norme.