La similitude est une relation d'équivalence. Deux matrices sont semblables si et seulement si elles représentent le même endomorphisme d'un espace vectoriel dans deux bases (éventuellement) différentes.
Deux matrices sont semblables si et seulement si elles représentent un même endomorphisme dans deux bases prises simultanément comme base de départ et d'arrivée. Des matrices semblables sont équivalentes.
Les matrices $ ( 1 1 0 1 ) $ et $ ( 1 0 0 1 ) $ ont même trace et même déterminant, mais ne sont pas semblables. Pour montrer qu'elles ne sont pas semblables, tu suppose qu'il existe P telle que $ ( 1 1 0 1 ) = P^{-1}.
Deux matrices de même rang ne sont pas nécessairement semblables. Ainsi, Deux matrices semblables ont même déterminant. Rappelons qu'une matrice P ∈ Mn(R) est inversible si et seulement si son déterminant est non nul.
Propriété : Deux matrices sont égales si, et seulement si, elles ont la même taille et ont les coefficients égaux placés aux mêmes positions. Définition : Soit A et B deux matrices de même taille.
On rappelle que pour vérifier que deux matrices soient égales, nous devons confirmer qu'elles sont de même dimension et que ? = ? pour tous ? et ? . Ces deux matrices sont toutes les deux de dimension 2 × 2 , afin de vérifier leur égalité, nous devons donc comparer chaque coefficient.
La matrice M est diagonalisable si et seulement si la somme des multiplicités géométriques est égale à la taille de M. Or chaque multiplicité géométrique est toujours inférieure ou égale à la multiplicité algébrique correspondante.
On dit qu'une matrice carrée A est nilpotente s'il existe un entier naturel p tel que la matrice Ap soit nulle. L'indice de nilpotence est alors le plus petit p. et 0 l'endomorphisme nul.
Le rang d'une matrice est celui des applications linéaires qu'elle représente, qui ne dépend pas des bases. Si deux matrices représentent la même application dans des bases différentes, elles auront nécessairement même rang.
En algèbre linéaire et multilinéaire, une matrice symétrique est une matrice carrée qui est égale à sa propre transposée, c'est-à-dire telle que ai,j = aj,i pour tous i et j compris entre 1 et n, où les ai,j sont les coefficients de la matrice et n est son ordre.
Définition 5 Le polynome minimal d'une matrice A est un polynôme M de degré minimal tel que M(A) = 0 et de coefficient dominant égal à 1. Un tel polynome divise tous les polynomes tels que P(A) = 0, il divise le polynome caractéristique de A et il a les mêmes racines que le polynome caractéristique.
Une matrice est trigonalisable si et seulement si son polynôme caractéristique est scindé dans K[X]. En particulier, si K est algébriquement clos, toute matrice carrée à coefficients dans K est trigonalisable et donc aussi tout endomorphisme d'un K-espace vectoriel de dimension finie.
Pour inverser une matrice à deux lignes et deux colonnes, il faut : échanger les deux coefficients diagonaux. changer le signe des deux autres. diviser tous les coefficients par le déterminant.
Le polynôme caractéristique d'une matrice carrée A est det(A - λI) (c'est un polynôme en λ). ∣ ∣ ∣ ∣ a - λ b c d - λ ∣ ∣ ∣ ∣ = (a -λ)(d -λ)-cd = λ2 -(a +d)λ+ad -bc . Rappel. Les valeurs propre d'une matrice carrée sont les racines de son polynôme caractéristique.
On note P la matrice de passage de b à b . On calcule la matrice P de la façon suivante : la jYème colonne de P est la matrice de e j dans la base b, cГestYàYdire la matrice colonne constituée, dans lГordre de haut en bas, des coordonnées de e j dans la base b.
On appelle noyaude la matrice A, noté Ker (A) , l'ensemble des matrices colonnes X ∈ Mq,1(R) telles que AX = (0)p×1 .
Si la matrice n'est pas carré, elle n'est pas inversible ! et le déterminant d'une matrice non carrée n'existe pas ! 2) Si A est inversible (et donc carrée) alors l'inverse de A s'écrit A^-1 et A*A^-1 = identité.
Couple de nombres qui représentent le nombre de lignes et le nombre de colonnes d'un matrice. La dimension d'une matrice est synonyme de taille de cette matrice. Si une matrice comporte 3 lignes et 5 colonnes, on dira qu'elle est de dimension 3 par 5.
En algèbre linéaire, une matrice involutive est une matrice carrée qui est égale à sa propre matrice inverse, c'est-à-dire telle que M-1=M. On a donc M2=I (matrice identité).
Une matrice nilpotente n'est pas inversible.
Matrice singulière
En algèbre linéaire, une matrice carrée est dite singulière si elle n'est pas inversible. Par conséquent, un système d'équations représenté par une matrice singulière n'admet pas de solution unique, car on ne peut pas l'inverser. Aussi, le déterminant de la matrice est nul.
1. Une matrice A est diagonalisable si et seulement si la somme des dimensions des sous-espaces propres est égale à l'ordre de la matrice. 2. Si une matrice carrée A d'ordre n admet n valeurs propres différentes, alors A est diagonalisable.
La matrice carrée nulle est non-inversible et diagonalisable. Elle est même diagonale. En revanche une matrice carrée est inversible si et seulement si elle n'admet pas 0 pour valeur propre.
Définition Une matrice est dite diagonalisable si elle est semblable à une matrice diagonale. En particulier, toute matrice diagonale est diagonalisable.
Méthode n°2 : Une matrice A est inversible si et seulement si la famille formée par ses vecteurs colonnes est libre. Autrement dit, si vous remarquez une combinaison linéaire entre les vecteurs colonnes de la matrice A, alors cette famille est liée, donc elle n'est pas libre, donc A n'est pas inversible.