caractérisation d'une matrice inversible Elle est inversible si et seulement son déterminant est non nul. De plus si est inversible, det ( M − 1 ) = [ det ( M ) ] − 1 .
On rappelle donc : Si f admet un polyn ôme minimal µ, alors f est inversible si, et seulement si, le terme constant µ(0) est non nul.
Tout d'abord, rappelons que notre matrice 𝐴 est toujours inversible si le déterminant de 𝐴 est non nul. En fait, si nous savons que le déterminant de notre matrice est différent de zéro, alors on peut toujours calculer son inverse.
Une matrice A de Mn(K) M n ( K ) est dite inversible s'il existe B∈Mn(K) B ∈ M n ( K ) tel que AB=BA=In. A B = B A = I n . Une matrice B vérifiant la relation précédente est unique, elle s'appelle matrice inverse de A et se note A−1 .
On dit d'une telle matrice qu'elle est non inversible. Par exemple, A=[1000] A = [ 1 0 0 0 ] est non inversible puisque BA=[a0c0] B A = [ a 0 c 0 ] pour chaque B=[abcd], B = [ a b c d ] , d'où BA≠[1001] B A ≠ [ 1 0 0 1 ] peu importe les valeurs de a,b,c a , b , c et d .
Toute matrice carrée qui admet 0 pour valeur propre n'est pas inversible car son noyau n'est pas réduit au vecteur nul. La matrice A = ( 1 0 0 0 ) de M 2 ( K ) ( K = R ou K = C ) est une matrice diagonale qui admet pour valeurs propres 1 et 0 donc A n'est pas inversible bien qu'elle soit diagonalisable.
Si A est un anneau, on dit qu'un élément a de A est inversible s'il existe b de A tel que ab=ba=1 a b = b a = 1 . Un tel élément b est alors unique et est appelé inverse de a .
Solution détaillée. On peut calculer directement le déterminant de A α en le développant suivant la troisième ligne ou la troisième colonne. Dans ce cas la matrice est inversible et son rang est égal à 3. Lorsque α ∈ { 0 , π } le rang de A α est strictement inférieur à 3.
S'il existe une matrice appartenant à M n ( K ) telle que A B = B A = I n , elle est unique. Cela nous permet de définir l'inverse d'une matrice.
Propriété Toute matrice triangulaire est inversible si et seulement si ses coefficients diagonaux sont non nuls. Son inverse est alors une matrice triangulaire de même sens avec des coefficients diagonaux inverses.
Une matrice carrée à coefficients dans K ( K = R ou K = C ) est diagonalisable si et seulement si son polynôme caractéristique est scindé sur K et, pour chaque valeur propre, la dimension du sous-espace propre associé est égale à son ordre de multiplicité en tant que racine du polynôme caractéristique.
On résout ( S ) par la méthode du pivot de Gauss. On a donc pour toutes matrices X et Y de M 3 , 1 ( R ) l'équivalence A X = Y ⇔ X = A ′ Y . On a donc pour toute matrice Y de M 3 , 1 ( R ) , Y = A A ′ Y on en déduit A A ′ = I 3 . De même pour toute matrice X de M 3 , 1 ( R ) , X = A ′ A X et donc A ′ A = I 3 .
H⊕Vect(In)=ℳn(𝕂). Soit A une matrice nilpotente. On peut l'écrire A=B+λIn avec B∈H. La matrice B n'étant pas inversible, il existe une colonne X non nulle telle que BX=0 et alors AX=λX.
Pour calculer le déterminant d'une matrice 3 × 3 , nous pouvons utiliser la méthode de développement par les cofacteurs en choisissant une ligne ou une colonne spécifique de la matrice, en calculant les mineurs pour chaque élément de celle-ci et en alternant les signes en fonction des cofacteurs.
Une matrice qui a le même nombre de lignes et de colonnes est appelée matrice carrée.
Le rang d'une matrice de taille 𝑚 × 𝑛 , 𝐴 , noté, r g ( 𝐴 ) , est égal au nombre de lignes/colonnes de la plus grand sous-matrice carrée de 𝐴 (qui peut être 𝐴 elle-même) de déterminant non nul. 0 ⩽ ( 𝐴 ) ⩽ ( 𝑚 ; 𝑛 ) r g m i n . On a r g ( 𝐴 ) = 0 si et seulement si 𝐴 est la matrice nulle 0 .
Un produit de deux matrices carrées est inversible si et seulement si les deux matrices en facteur le sont aussi. Les matrices de permutation, transvection, symétrie ou rotation et les matrices de passage sont toujours inversibles.
On rappelle qu'une matrice carrée est inversible si et seulement si son déterminant n'est pas égal à zéro. On peut voir que l'ordre de la matrice donnée est 2 × 2 , ce qui signifie qu'il s'agit d'une matrice carrée. Donc, nous devons vérifier son déterminant pour voir s'il est égal à zéro.
Si on additionne une matrice de dimension m × n et son opposée, on obtient la matrice nulle de dimension m × n . Quelle que soit la matrice , A + ( − A ) = O and − A + A = O .
inversible adj. Se dit d'un élément d'un ensemble qui admet un inverse.
Deux matrices sont semblables si et seulement si elles représentent le même endomorphisme d'un espace vectoriel dans deux bases (éventuellement) différentes.
On peut en déduire que l'inverse de 5 est 0,2 et que l'inverse de 0,2 est 5. Un nombre et son inverse ont le même signe.
Par exemple : l'opposé de 7 est égal à –7 car 7 + (–7) = 0. l'opposé de -0,3 est 0,3 car –0,3 + 0,3 = 0.
L'opposé du nombre 0 est le nombre 0. Deux nombres opposés sont deux nombres de même valeur absolue et de signes contraires.
Le fait que toute puissance d'une matrice diagonalisable soit également diagonalisable admet une réciproque partielle. Toute matrice inversible admettant au moins une puissance non nulle diagonalisable est diagonalisable également sur un corps algébriquement clos de caractéristique nulle. , qui est donc diagonalisable.