Un produit scalaire nul signifie que les vecteurs sont perpendiculaires, c'est-à-dire, que l'angle entre eux est °. Cela suppose qu'aucun des vecteurs n'est le vecteur nul.
Le produit scalaire de deux vecteurs non nuls et représentés par des bipoints OA et OB est le nombre défini par OA ⋅ OB ⋅ cos(θ). Si l'un des vecteurs est nul alors le produit scalaire est nul.
le produit vectoriel de deux vecteurs est nul si et seulement si ces deux vecteurs sont colinéaires.
Si ⃗ AB et ⃗ CD sont deux vecteurs colinéaires non nuls, alors : 1er cas, vecteurs de même sens : ⃗ ⋅ C D ⃗ = A B × C D \vec {AB}\cdot \vec {CD}=AB\times CD AB ⋅CD =AB×CD.
Si l´angle (OA,OB) est inférieur à PI/2 le produit scalaire est positif, si cet angle est supérieur à PI/2 le produit scalaire est negatif et si cet angle est égal à PI/2 le produit scalaire est nul.
(d) Le produit scalaire de deux vecteurs. Il s'agit d'une opération de multiplication entre deux vecteurs donnant comme résultat un scalaire, c'est-à-dire un nombre. Il est noté en général avec un point →u⋅→v. Pour le distinguer de la multiplication usuelle, nous le noterons →u⊙→v.
Le cas réel. pour tous v, w, v , w ∈ V et a, b, a ,b ∈ F. Elle est définie positive si ϕ( v, v) ≥ 0 pour tout v ∈ V , et ϕ( v, v) = 0 si et seulement si v = 0. Un produit scalaire sur V est une forme bilinéaire, symétrique, et définie positive.
Deux vecteurs non nuls sont orthogonaux si, et seulement si, u ⋅v =0.
Le produit scalaire est distributif : ⃑ 𝑢 ⋅ ⃑ 𝑣 + ⃑ 𝑤 = ⃑ 𝑢 ⋅ ⃑ 𝑣 + ⃑ 𝑢 ⋅ ⃑ 𝑤 . Le produit scalaire de deux vecteurs ⃑ 𝑢 et ⃑ 𝑣 est égal au produit de leurs normes et du cosinus de l'angle qu'ils forment : ⃑ 𝑢 ⋅ ⃑ 𝑣 = ‖ ‖ ⃑ 𝑢 ‖ ‖ ⋅ ‖ ‖ ⃑ 𝑣 ‖ ‖ ⋅ 𝜃 , c o s où 𝜃 est l'angle entre ⃑ 𝑢 et ⃑ 𝑣 .
Le vecteur nul, noté 0 ou A A → \overrightarrow{AA} AA est un vecteur qui a le point origine et le point extrémité confondus.
Étymologiquement, colinéaire signifie sur une même ligne : en géométrie classique, deux vecteurs sont colinéaires si on peut en trouver deux représentants situés sur une même droite. sont parallèles. Cette équivalence explique l'importance que prend la colinéarité en géométrie affine.
Definition. - par convention, le vecteur nul est orthogonal à tout vecteur. Les vecteurs et sont dits orthogonaux si les droites (AB) et (AC) sont perpendiculaires.
Si le produit scalaire de deux vecteurs est nul, on dit que ces vecteurs sont orthogonaux. Pour que deux vecteurs non nuls aient un produit scalaire nul, il faut que leurs droites d'application soient perpendiculaires (ainsi, le projeté orthogonal du deuxième sur le premier est un point, de longueur nulle).
Si ϕ : E × E → C est un produit scalaire, alors ϕ(x,y) est noté 〈x|y〉. Si ϕ : E × E → K est un produit scalaire, alors ϕ(x,y) est noté 〈x|y〉. Si 〈·|·〉 est un produit scalaire sur E alors pour tout x ∈ E, 〈x|x〉 ≥ 0. On pose alors x = √〈x|x〉 qu'on appelle la norme de x.
Le produit scalaire et le produit vectoriel sont deux calculs réalisés à partir deux vecteurs de même nombre de composantes. Ils ont en revanche des différences fondamentales: Avec le produit scalaire on obtient un scalaire (c'est-à-dire un nombre) tandis qu'avec le produit vectoriel on obtient un vecteur.
D'après le cours, deux droites sont orthogonales si et seulement si leurs vecteurs directeurs sont orthogonaux, c'est-à-dire si le produit scalaire de ces deux vecteurs est nul.
Comment savoir si deux vecteurs sont orthogonaux ? Pour vérifier que deux vecteurs sont orthogonaux cela revient à calculer le produit scalaire entre les deux :- s'il est nul, ils sont orthogonaux (perpendiculaires),- s'il est différent de 0 ils ne sont pas orthogonaux.
En géométrie plane, « orthogonal » signifie « perpendiculaire ». En géométrie dans l'espace, le terme « perpendiculaire » est réservé aux droites orthogonales et sécantes. Deux droites sont orthogonales si leurs parallèles respectives passant par un même point sont perpendiculaires.
Le vecteur nul a une longueur égale à 0, mais n'a ni direction, ni sens.
Si les deux vecteurs ont le même sens, alors leur produit scalaire sera toujours un nombre POSITIF. Mais, si les vecteurs sont de sens opposés, alors leur produit scalaire sera NEGATIF. Si un des vecteurs est nul ( égal à 0) alors le produit scalaire des deux vecteurs est nul (égal à 0).
Le produit vectoriel est commutatif, quel que soit l'ordre dans lequel interviennent les deux vecteur, le résultat reste le même.
où le point centré représente le produit scalaire(*). La vérification du fait que ce produit est associatif est aisée. Elle repose sur deux propriétés classiques du produit vectoriel, à savoir le fait qu'il agit par applications antisymétriques et l'identité du double produit vectoriel.
La norme euclidienne associée `a un produit scalaire vérifie x = 0 ⇔ x = 0 et λx = |λ|x pour tout réel λ. Voici d'autres pro- priétés. |(x | y)|≤x y . L'égalité a lieu si et seulement si x et y sont colinéaires.
Le produit scalaire est donc du signe du cosinus, c'est-à-dire positif si l'angle formé par les vecteurs est aigu et négatif si l'angle est obtus (à visualiser sur le cercle trigonométrique).