Par exemple, l'ensemble A est inclus dans l'ensemble E si, et seulement si, A est un sous-ensemble de E. Et on dit qu'un nombre appartient à un ensemble. Par exemple, si x appartient à R, on peut dire que x est un élément quelconque présent dans l'ensemble des réels ou que R possède x.
1. Être la propriété de quelqu'un, son bien, soit de fait, soit de droit : Cette maison appartient à un industriel. 2. Être à la disposition de quelqu'un, dépendre de lui, se prêter à une quelconque activité de sa part : L'avenir appartient aux audacieux.
Symboles. Le symbole « ∈ » se lit : « est un élément de » ou « appartient à ». Le symbole « ∉ » se lit : « n'est pas un élément de » ou « n'appartient pas à ».
Pour dire que x est un élément de l'ensemble E, on écrit x ∈ E. Pour dire que x n'est pas un élément de E, on écrit x /∈ E. Un ensemble est caractérisé par ses éléments. Deux ensembles A et B sont donc égaux s'ils ont les mêmes éléments.
On dit que A est inclus dans B si chaque élément de A est un élément de B. On note A ⊂ B. On dit aussi “A est contenu dans B” ou “A est une partie de B” ou “A est un sous-ensemble de B”. Remarques - • A ⊂ A • Si A ⊂ B et B ⊂ C, alors A ⊂ C • A = B si et seulement si (A ⊂ B et B ⊂ A).
L'inclusion se note majoritairement avec le symbole « ⊂ » introduit par Schröder, même si d'autres auteurs réservent ce symbole à l'inclusion stricte (c'est-à-dire excluant le cas d'égalité), suivant ainsi la norme ISO.
L'ensemble des nombres entiers naturels est noté ℕ. Un nombre entier relatif est un nombre entier qui est positif ou négatif. L'ensemble des nombres entiers relatifs est noté ℤ. Un nombre décimal peut s'écrire avec un nombre fini de chiffres après la virgule.
Formellement, démontrer une inclusion E ⊂ F entre deux ensembles revient à démontrer l'implication x ∈ E ⇒ x ∈ F . Si E et F sont deux sous-espaces vectoriels d'un même espace vectoriel, et si ( u1 , … , u n ) est une famille génératrice de E , il suffit de montrer que tous les vecteurs u i appartiennent à F .
Les ensembles réduits à un seul élément sont appelés singletons. Par exemple l'ensemble qui contient pour seul élément 0 est appelé « singleton 0 » et noté {0}.
L'ensemble Z vient de l'allemand zahlen qui signifie compter. Ainsi défini par Dedekind, il recouvre l'ensemble des nombres entiers relatifs (exemples : -3 -1 0 1 5). N est inclus dans Z. L'ensemble Q a été défini par Peano, il vient de l'italien quotiente (la fraction).
Le signe m, un symbole proche du futur ∞, y désigne l'infini. Sans doute Wallis a-t-il aussi pensé que la boucle que représente le symbole ∞ faisait penser à l'infini ,puisqu'elle peut être parcourue sans fin. L'apparition du symbole ∞ contribua en tout cas fortement à la modernisation en marche des mathématiques.
Le symbole Q désigne l'ensemble des nombres rationnels. Tous les nombres naturels, entiers et décimaux sont des nombres rationnels.
Définition de appartenir
pronominal S'appartenir : être libre, ne dépendre que de soi-même. Être propre à (qqn). Pour des raisons qui m'appartiennent…
Le symbole R désigne l'ensemble des nombres réels. Tous les nombres naturels, entiers, décimaux et rationnels sont des nombres réels.
Les nombres entiers, représentés par Z , regroupent tous les nombres entiers positifs et négatifs. On utilise fréquemment l'appellation nombres entiers relatifs. On peut voir l'ensemble des nombres entiers comme l'ensemble regroupant les nombres entiers naturels (N) et leurs opposés, les nombres entiers négatifs.
(Abréviation) Équivalent de « svp » (« s'il vous plaît »).
un ensemble non vide est habité, et peut se formuler : un ensemble qui n'est pas ∅ possède au moins un élément. Affirmer son équivalence à un ensemble habité est non vide nécessite le tiers exclu et n'est donc pas valide en logique intuitionniste.
Remarque : Le "ou" des mathématiciens est un "ou" inclusif : p∨q sera vraie lorsque p et q sont vraies toutes les deux. Dans le langage courant le "ou" est ambigu.
On appelle cardinal de E le nombre d'éléments de E, noté #E ou card E( ). ( )= #A+#B −# A>B ( ).
On définit la classe d'équivalence [x] d'un élément x de E comme l'ensemble des y de E tels que x ~ y : On appelle représentant de [x] n'importe quel élément de [x], et système de représentants des classes toute partie de E qui contient exactement un représentant par classe.
Le plus petit nombre entier n'existe pas. En effet, les nombres entiers sont les nombres entiers relatifs, qui incluent les nombres entiers négatifs, jusqu'à la limite de l'infini négatif. En revanche, le plus petit des nombres entiers naturels est 0, et le plus petit nombre entier naturel non nul est 1.
Zéro est le seul nombre qui est à la fois réel, positif, négatif et imaginaire pur.
Tout nombre réel a un seul opposé et tout nombre réel non nul a un seul inverse. Tout nombre réel est l'opposé de son opposé. Le nombre 0 est absorbant pour la multiplication : pour tout réel a , on a 0 × a = 0, donc 0 n'a pas d'inverse.