Branche des mathématiques, issue de l'astronomie, qui, en liaison avec la géométrie euclidienne, permet de calculer les mesures des côtés d'un triangle ou de ses angles, à partir de certaines d'entre elles. (On y utilise et étudie en particulier les fonctions circulaires et leurs réciproques.)
Utiliser la trigonométrie pour trouver les longueurs des côtés d'un triangle rectangle. On peut utiliser les lignes trigonométriques pour calculer la longueur de l'un des côtés d'un triangle rectangle.
Formules fondamentales :
tg x = sin x / cos x. cotg x = cos x / sin x.
Mais on attribue à Hipparque de Nicée (-190 ; -120) les premières tables trigonométriques. Elles font correspondre l'angle au centre et la longueur de la corde interceptée dans le cercle.
Pour les non scientifiques, la trigonométrie est connue principalement pour ses applications aux problèmes de mesure, cependant elle est aussi souvent employée dans des matières insoupçonnées comme en théorie de la musique ou en théorie des nombres de manière encore plus technique.
Dans un repère orthonormé, on appelle cercle trigonométrique le cercle de centre O(0 ; 0) et de rayon 1. À partir du point A(1 ; 0), on parcourt le cercle dans le sens inverse des aiguilles d'une montre, appelé sens trigonométrique.
Le sinus de l'angle est le rapport des longueurs du côté opposé à cet angle et de l'hypoténuse. Le cosinus de l'angle est le rapport des longueurs du côté adjacent à cet angle et de l'hypoténuse. La tangente de l'angle est le rapport des longueurs du côtés opposé et adjacent à cet angle et de l'hypoténuse.
à la suite des résultats novateurs développés par les mathématiciens et astronomes arabes comme Al-Battani, Al-Biruni, At-Tusi, Al-Bitruji (évoqué ci-dessus), Regiomontanus, représentatif de l'école allemande de la Renaissance, est considéré en Europe comme le père de la trigonométrie moderne (néologisme dû à Pitiscus) ...
Une phrase permet de se rappeler des trois premiers théorèmes à la fois : cah soh toa pour « casse-toi » : Cosinus = Adjacent sur Hypoténuse ; Sinus = Opposé sur Hypoténuse ; Tangente = Opposé sur Adjacent. Certaines personnes préfèrent soh cah toa.
Elle permet de retenir les trois formules : sinus = opposé / hypoténuse, cosinus = adjacent / hypoténuse et tangente = opposé / adjacent. Le cosinus, le sinus et la tangente d'un angle n'ont pas d'unité.
Dans un triangle rectangle, le cosinus d'un angle, noté « cos », est égal au rapport (quotient) de la longueur du côté adjacent à cet angle sur la longueur de l'hypoténuse.
La fonction cosinus est utilisée couramment pour modéliser des phénomènes périodiques comme les ondes sonores ou lumineuses ou encore les variations de température au cours de l'année.
cos(x)=0 si et seulement s'il existe k∈Z tel que x=π2+kπ.
Les sinus atténuent le poids des os faciaux et du crâne tout en maintenant leur solidité et leur forme. De plus, les cavités du nez et des sinus jouent également le rôle de caisse de résonance pour la voix.
(a) Définition des nombres trigonométriques
Le cercle trigonométrique est un cercle de rayon 1 centré à l'origine. On mesure l'angle α à partir de l'axe horizontal; α est positif dans le sens anti-horlogique et négatif dans le sens des aiguilles d'une montre.
Les tables de rapports trigonométriques fournissent des nombres en relation avec les angles aigus. Ces tables informent de degrés en degrés ou de grades en grades. Ces tables se lisent de haut en bas pour les angles inférieurs à 45° ou 50 grades , et de bas en haut pour les angles supérieurs à 45 ° ou 50 grades.
On définit le cosinus comme étant le rapport entre le côté adjacent à l'angle par rapport à l'hypoténuse. Le sinus est le rapport entre le côté opposé à l'angle par rapport à l'hypoténuse.
Le sinus d'un angle α est noté sin(α) ou simplement sin α.
On détermine d'abord le rapport cosinus, puis on utilise la touche cos−1 (qu'on appelle aussi arccos a r c c o s ) sur la calculatrice. Détermine la mesure de l'angle BAC B A C dans le triangle rectangle suivant à l'aide du rapport cosinus.
La valeur exacte de sin(90°) sin ( 90 ° ) est 1 .
La tangente d'un angle θ est la longueur du segment de la tangente au cercle trigonométrique qui intercepte l'axe des abscisses. On remarque que cette fonction n'est pas définie pour des valeurs où le cosinus de l'angle s'annule, correspondant aux cas limites où la tangente est parallèle à la droite interceptrice.
Trouver la mesure d'un angle à l'aide de tan−1
Pour déterminer la mesure d'un angle aigu dans un triangle rectangle à l'aide du rapport tangente, on doit connaitre la mesure de son côté opposé et celle de son côté adjacent.
La première colonne, à partir de la deuxième ligne, accueillera les fonctions trigonométriques (sinus, cosinus, tangente, cosécante, sécante et cotangente). Sur la première ligne, à partir de la deuxième colonne, vous indiquerez les angles principaux (0°, 30°, 45°, 60°, 90°).