Le tableau de variation de f est la représentation schématique des directions que prend la courbe représentative d'une fonction.
Pour dresser le tableau de variations d'une fonction, il faut calculer la dérivée, étudier le signe de celle-ci, et compléter les valeurs aux extrémités de chacune des flèches placées, en faisant attention aux éventuelles valeurs interdites sur l'intervalle d'étude.
Une des méthodes les plus couramment utilisées pour déterminer le sens de variation d'une fonction est l'étude du signe de sa dérivée. ➕/➖ La dérivée d'une fonction représente son taux de variation instantanée, et son signe nous renseigne sur la croissance ou la décroissance de la fonction.
En mathématiques, les variations d'une fonction réelle d'une variable réelle sont le caractère croissant ou décroissant des restrictions de cette fonction aux intervalles sur lesquels elle est monotone.
Comment dresser et lire un tableau de variation ? Soient I un intervalle et f une fonction définie sur I. f est croissante sur I signifie que pour tout a et b de I, si a ≤ b, alors f(a) ≤ f(b). f est décroissante sur I signifie que pour tout a et b de I, si a ≤ b, alors f(a) ≥ f(b).
Lorsqu'on se promène sur la courbe en allant de la gauche vers la droite : Sur l'intervalle [0 ; 2,5], on monte, on dit que la fonction est croissante. Sur l'intervalle [2,5 ; 5], on descend, on dit que la fonction est décroissante.
Le sens de variation d'une fonction affine dépend du signe du coefficient directeur a a a. Ce coefficient directeur représente la « pente » de la droite représentative de f f f. Si a > 0 a > 0 a>0 la fonction est croissante, la droite « monte ». Si a = 0 a=0 a=0 la fonction est constante, la droite est horizontale.
Une fonction affine est croissante si et seulement si son taux de variation est positif. Une fonction affine est décroissante si et seulement si son taux de variation est négatif. Une fonction affine est constante si et seulement si son taux de variation est nul.
On va d'abord calculer la dérivée, chercher le signe de la dérivée et donner les variations de la fonction sous la forme d'un tableau à deux lignes. La dérivée f'(x) = 3x²-12, soit 3(x²-4) = 3(x-2)(x+2). Comme il s'agit d'un produit, on sait que la dérivée s'annule pour x=-2 ou pour x=2.
Méthode : Pour étudier les variations d'une fonction polynome du 3° degré, il suffit de déterminer l'expression de sa fonction dérivée ( qui sera du 2° degré ), puis d'étudier son signe et de conclure avec le théorème.
Définition : Signe d'une fonction
Le signe d'une fonction permet de savoir quand la fonction est positive, négative ou nulle. Pour une fonction 𝑓 ( 𝑥 ) sur un intervalle 𝐼 , le signe est positif si 𝑓 ( 𝑥 ) > 0 pour tout 𝑥 dans 𝐼 , le signe est négatif si 𝑓 ( 𝑥 ) < 0 pour tout 𝑥 dans 𝐼 .
Étant donné deux valeurs x1 et x2 du domaine d'une fonction f, le taux de variation de cette fonction de x1 à x2 est le rapport : f(x2) – f(x1)x2 – x1.
Pour faire simple, le signe de la dérivée permet d'indiquer les variations de la fonction f. C'est ce qui représente la tangente à la fonction. Et la dérivée elle-même représente le coefficient directeur de la tangente à f au point.
Pour factoriser une somme, il faut repérer le facteur commun aux différents termes de la somme. A : le facteur commun est x ; si l'on développe x(x − 5), on retrouve bien x2 − 5x. B : le facteur commun est 2x ; si l'on développe 2x(x − 3 + y), on retrouve bien 2x2− 6x + 2xy.
Pour déterminer le sens de variation d'une suite (un), on peut utiliser l'une des règles suivantes : a) On étudie le signe de la différence un+1 − un. ▶ Si un+1 − un est positive, alors la suite (un) est croissante. ▶ Si un+1 − un est négative, alors la suite (un) est décroissante.
Attention, si la dérivée s'annule en un point mais ne change pas signe autour de ce point, il ne s'agit pas d'un extremum. Par exemple, si f(x) = x3 alors f′(x)=2x2 et f′(0) = 0 mais f′ ne change pas de signe et 0 n'est pas un extremum de f. 1.
Comment calculer le nombre dérivé ? Pour calculer le nombre dérivé, il faut utiliser la formule suivante : lim h → 0 f ( a + h ) − f ( a ) h . Il est également possible d'évaluer la fonction dérivée au point donné.
Une fonction affine est une fonction qui, à tout nombre x, associe le nombre ax + b (a et b étant des nombres quelconques donnés). Remarque : une fonction linéaire est une fonction affine particulière. Dans ce cas : b = 0. On a f(–5) = 5 × (–5) – 3 = –28 .
Sens de variation
Propriété : La fonction inverse est décroissante sur ] –∞ ; 0 [ et sur ] 0 ; +∞ [. Démonstration : sur ] 0 ; +∞ [
Si [a,b] est un intervalle du domaine d'une fonction f, on dit que la fonction f est décroissante dans l'intervalle [a,b] si et seulement si pour tout élément x1 et x2 de [a,b], si x1<x2, alors f(x1)≥f(x2).
Si la fonction est croissante (respectivement décroissante) alors la dérivée est positive (respectivement négative).
Une fonction f définie sur est une fonction affine si elle peut s'écrire sous la forme f(x) = ax + b avec a et b réels.