Soient a non nul et b, deux éléments d'un anneau intègre. Si, pour tout élément c, a divise bc implique que a divise c, alors a et b sont premiers entre eux. En effet, soit d un diviseur commun à a et b : on peut écrire a = cd et b = ed. Par hypothèse, comme a divise bc, on a que a divise c donc d est inversible.
L'algorithme d'Euclide fonctionne en utilisant le fait que si « d » divise à la fois « a » et « b », alors « d » divise aussi leur différence (« a » – « b »). Cela signifie que si « d » est le PGCD de « a » et « b », alors « d » est également le PGCD de « b » et (« a » – « b »).
Le postulat est lié au fait que la somme des angles d'un triangle soit égale à 180°. La démonstration de cette propriété ouvre la voie aux géométries non euclidiennes, c'est-à-dire celles qui nient le postulat.
Démonstration d'Euclide
Dans ses Éléments, Euclide démontre que de trois nombres premiers distincts peut se déduire un quatrième. La démonstration se généralise immédiatement à toute énumération finie de nombres premiers. Il déduit que les nombres premiers sont en nombre plus important que toute quantité finie.
Son ouvrage le plus célèbre, les Éléments, est un des plus anciens traités connus présentant de manière systématique, à partir d'axiomes et de postulats, un large ensemble de théorèmes accompagnés de leurs démonstrations.
Les notions de droite, de plan, de longueur, d'aire y sont exposées et forment le support des cours de géométrie élémentaire. La conception de la géométrie est intimement liée à la vision de l'espace physique ambiant au sens classique du terme.
L'ouvrage est le plus ancien exemple connu d'un traitement axiomatique et systématique de la géométrie et son influence sur le développement de la logique et de la science occidentale est fondamentale.
Nombres premiers
Un nombre entier naturel (supérieur ou égal à 2) est un nombre premier s'il admet exactement 2 diviseurs : 1 et lui-même. Exemple : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 … sont des nombres premiers.
Euclide. Son nom au complet est Eukleidês. Euclide est né vers -325 av. JC et est mort vers -265 av.
Euclide est un grand mathématicien de l'Antiquité et il est souvent appelé le père de la Géométrie.
Des droites sécantes sont des droites qui se croisent en un seul point. On qualifie de point d'intersection le point de rencontre entre deux droites ou plus.
Le nom de division euclidienne est un hommage rendu à Euclide qui pose les fondements de l'arithmétique dans ses Éléments. Mais elle apparaît très tôt dans l'histoire des mathématiques. Caveing en signale la présence dans les mathématiques égyptiennes où il s'agit par exemple de mesurer 30 avec l'unité 7.
Plus formellement, un nombre parfait n est un entier tel que σ(n) = 2n où σ(n) est la somme des diviseurs positifs de n. Ainsi 6 est un nombre parfait car ses diviseurs entiers sont 1, 2, 3 et 6, et il vérifie bien 2 × 6 = 12 = 1 + 2 + 3 + 6, ou encore 6 = 1 + 2 + 3.
En mathématiques, on dit que deux entiers a et b sont premiers entre eux, que a est premier avec b ou premier à b ou encore que a et b sont copremiers (ou encore étrangers) si leur plus grand commun diviseur est égal à 1 ; en d'autres termes, s'ils n'ont aucun diviseur autre que 1 et –1 en commun.
Axiome est d'origine grecque, postulat d'origine latine, ce qui entraîne la subtilité suivante : un axiome est tenu pour évident et repose sur une vérité manifeste, alors que le postulat ne l'est pas et peut donc être contesté.
La liste des entiers premiers positifs inférieurs à 8 est {2 ; 3 ; 5 ; 7}. On teste la divisibilité de 69 par ces nombres. 69 n'est pas divisible par 2. Mais 3 × 23 = 69, donc 69 est divisible par 3.
Définition : Un nombre entier positif est premier s'il possède exactement deux diviseurs : 1 et lui-même. Exemples et contre-exemple : • Voici la liste des 25 premiers nombres premiers : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97…
Un nombre premier est donc un nombre dont ses seuls diviseurs sont 1 et lui-même. Citons quelques nombres premiers : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, … et quelques plus grands : 22 091, 9 576 890 767 ou encore ce géant : 95 647 806 479 275 528 135 733 781 266 203 904 794 419 563 064 407.
Posons d := pgcd(a,b) et supposons que d|c. Par l'algorithme d'Euclide-Bézout nous pouvons calculer des entiers m,n tels que am + bn = d. Donc la couple X = −189 et Y = 240 est une solution. 1351 · (−37) + 1064 · 47 = −49987 + 50008 = 21.
Fondements mathématiques. La géométrie a pour objet l'étude de l'espace ; notion abstraite qui ne peut être appréhendée qu'au travers des objets physiques qui le peuplent : corps matériels ou champs énergétiques. De plus, la géométrie synthétique se limite à la description de l'espace sensible (donc tridimensionnel).
Mais le champion toutes catégories de la géométrie grecque est bien sûr Euclide. Ses Éléments sont le premier ouvrage de géométrie qui nous soit parvenu pour ainsi dire intégralement.