Les polygones convexes ont des angles internes de moins de 180 degrés et des sommets tournés vers l'extérieur. Les polygones non-convexes ont au moins un angle interne de plus de 180 degrés et des sommets tournés vers l'intérieur.
Un polygone est non convexe (concave) s'il possède au moins un angle intérieur dont la mesure est supérieure à 180∘.
Définition de convexe adjectif
Courbé, arrondi vers l'extérieur (opposé à concave).
Un polygone est convexe si tout segment qui relie deux points intérieurs se trouve entièrement dans ce polygone. Dans un polygone concave, au moins un segment joignant deux de ses points se trouve, en tout ou en partie, à l'extérieur de sa surface.
Un polygone non convexe (voir aussi non-convexe), concave ou rentrant, désigne un polygone simple ayant au moins un angle rentrant intérieur, c'est-à-dire un angle dont la mesure se situe entre 180 et 360 degrés.
Un polygone convexe est un type spécifique de polygone caractérisé par des propriétés clés: Angles: Dans un polygone convexe, tous les angles internes sont inférieurs à 180 degrés. Cela signifie que le polygone n'a pas d'angles réflexes, c'est-à-dire des angles supérieurs à 180 degrés.
Un objet géométrique est dit convexe lorsque, chaque fois qu'on y prend deux points A et B, le segment [A, B] qui les joint y est entièrement contenu. Ainsi un cube plein, un disque ou une boule sont convexes, mais un objet creux ou bosselé ne l'est pas.
Polygone strictement convexe
De manière équivalente, un polygone est strictement convexe si tout segment de droite joignant deux sommets non consécutifs du polygone est contenu, à l'exception de ses extrémités, dans l'intérieur du polygone. Tout triangle non dégénéré est strictement convexe.
En géométrie euclidienne, un carré est un quadrilatère convexe à quatre côtés de même longueur avec quatre angles droits.
Qui présente une courbe en bosse. Ligne courbe convexe. — Un cercle, une ellipse sont convexes.
Pour tout x ∈ E et r ≥ 0, la boule centrée en x et de rayon r (ouverte ou fermée) est convexe : B(x, r) := {y ∈ E | x − y ≤ r}. (iii) Pour toute forme linéaire φ : E → R et b ∈ R, le sous-niveau {x ∈ E;φ(x) ≤ b} est un ensemble convexe appelé demi-espace.
On peut facilement distinguer les polygones convexes des polygones concaves. Pour les polygones convexes, toutes les diagonales sont à l'intérieur du polygone, alors que pour les polygones concaves, au moins une des diagonales se situe à l'extérieur du polygone.
Une fonction est dite concave sur un intervalle si, pour toute paire de points sur le graphe de , le segment de droite qui relie ces deux points passe en dessous de la courbe de . Une fonction convexe possède une dérivée première croissante ce qui lui donne l'allure de courber vers le haut.
Un polygone formé de trois côtés est un triangle. Un polygone formé de quatre côtés est un quadrilatère. Un polygone formé de cinq côtés est un pentagone. Un polygone formé de six côtés est un hexagone.
Un polygone est une figure plane qui est formée par une ligne brisée fermée. À l'inverse, le non-polygone se définit comme l'ensemble des figures planes qui possèdent des lignes courbes ou qui comportent des lignes non fermées.
Le carré : un polygone particulier
Ses côtés opposés, sont parallèles . Il a 4 angles droits. Ses diagonales sont de même longueur et se coupent en leur milieu. Elles sont perpendiculaires.
La fonction f est convexe sur I si sa dérivée f ' est croissante sur I, soit f ''(x) ≥ 0 pour tout x de I. La fonction f est concave sur I si sa dérivée f ' est décroissante sur I, soit f ''(x) ≤ 0 pour tout x de I.
Dans la langue courante, concave signifie creux, soit une forme arrondie vers l'intérieur. Son contraire est convexe ou bombé. Le mot concavité a un sens directement relié au concept mathématique d'ensemble convexe, la concavité d'un objet désignant la partie de celui-ci qui a une forme en creux.
Adjectif. Qui présente une surface en creux. Surface, ligne courbe, polygone concave.
En géométrie, un hectogone ou hécatontagone est un polygone à 100 sommets, donc 100 côtés et 4 850 diagonales . La somme des angles internes d'un hectogone non croisé vaut 17 640 degrés .
Un triangle équilatéral a ses trois angles égaux à 60°, donc il ne possède pas d'angle droit. La somme des angles d'un triangle est égale à 180°.
Un demi-cercle est un polygone. Un polygone à 3 côtés est un losange.
Une droite est un sous-espace vectoriel (de l'espace vectoriel euclidien). Or tout sous-espace vectoriel est convexe.
Propriété 1 : si f est convexe sur I, alors f est continue sur I. Propriété 2 : si f est convexe sur I, alors f est dérivable `a droite et `a gauche sur I et ∀x0 ∈ I, fg (x0) ⩽ fd (x0).
La condition nécessaire et suffisante de minimum pour une fonction convexe est simple, c'est que 0∈∂f(x) où ∂f(x) désigne le sous-différentiel de f en x (bon, il y a des conditions sur f pour qu'il existe, mais très faibles).