ℚ s'appelle l'ensemble des nombres rationnels et la notation désigne une fraction. COMMENTAIRE r est un nombre rationnel (ratio veut dire rapport) si et seulement si il existe deux entiers relatifs p et q avec q ≠ 0 tels que .
L'ensemble ℚ a été défini par Peano, il vient de l'italien quotiente (la fraction). Il définit l'ensemble des nombres rationnels (exemples : -3 -2,5 0 1,25 1/3 2,666). Le nombre peut être décimal limité (3/4 = 0,75) ou périodique (2/3 = 0,666...).
Un nombre décimal peut s'écrire avec un nombre fini de chiffres après la virgule. L'ensemble des nombres décimaux est noté ⅅ. entier non nul. L'ensemble des nombres rationnels est noté ℚ.
Le symbole R désigne l'ensemble des nombres réels. Tous les nombres naturels, entiers, décimaux et rationnels sont des nombres réels.
L'ensemble des nombres entiers, représenté par le symbole Z, regroupe tous les nombres naturels (entiers positifs) et leurs opposés (entiers négatifs). Z={…,−3,−2,−1,0,1,2,3,…} Z = { … , − 3 , − 2 , − 1 , 0 , 1 , 2 , 3 , … }
Le nombre π est irrationnel, ce qui signifie qu'on ne peut pas écrire π = p/q où p et q seraient des nombres entiers.
On note par R, l'ensemble des réels, il contient les nombres rationnels et les nombres irrationnels tels que √ 2, π....
Est-ce que 0 appartient à R ? 0 est un nombre réel, donc il appartient à R.
2 L'ensemble Z
C'est l'ensemble des nombres entiers relatifs. Un entier relatif est, non seulement, un entier naturel, mais se présente aussi comme un entier naturel muni d'un signe positif ou négatif. Exemples : …. -5, -4, -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3, +4, +5, +6, +7, +8, etc.
Où l'on démontre que racine de 2 ne peut pas être le quotient de deux entiers et que c'est donc un nombre irrationnel.
Le symbole ∈ indique qu'un élément appartient à un ensemble. À l'inverse, le symbole ∉ identifie un élément qui n'appartient pas à un ensemble. L'ensemble est dit un sous-ensemble de si et seulement si tous les éléments de sont aussi des éléments de . On dit alors que l'ensemble est inclus dans l'ensemble .
Un nombre exprime une valeur pouvant représenter des grandeurs, des quantités, des positions, etc. Il peut être qualifié de différentes manières : un nombre peut être pair, impair, décimal, complexe, entier, cardinal, ordinal, premier, etc. Le nombre est représenté par un ou plusieurs chiffres.
L'ensemble des nombres rationnels, représenté par le symbole Q, regroupe tous les nombres qui correspondent à un quotient de 2 nombres entiers. Autrement dit, on peut les écrire sous la forme suivante. Les nombres rationnels incluent l'ensemble des nombres entiers, et donc l'ensemble des nombres naturels.
1)L'ensemble Z:
Z est le premièr lettre du mot (Zahl) qui signifit (nombre). Exemple:... -3;-2;-1;0;1;2;3....
Les nombre réels sont les abscisses des points d'une droite munie d'un repère : il s'agit donc de tous les nombres connus en seconde, qu'ils soient naturels, relatifs, rationnels ou irrationnels. L'ensemble des nombres réels se note IR. Exemples : V(2) ; 1,4 ; -3/8 ; 2 ; Pi ; ....
On appelle ces nombres : les entiers naturels. Mais parfois, il n'y a rien à compter, le zéro est aussi un nombre entier naturel. C'est d'ailleurs le tout premier. L'ensemble des nombres entiers naturels se note ℕ (vient de l'italien « Naturale »).
Un nombre imaginaire pur est un nombre complexe qui s'écrit sous la forme ia avec a réel, i étant l'unité imaginaire. Par exemple, i et −3i sont des imaginaires purs. Ce sont les nombres complexes dont la partie réelle est nulle. L'ensemble des imaginaires purs est donc égal à iℝ (aussi noté iR).
Quelques propriétés mathématiques du zéro
On dit que le zéro est un nombre cardinal, représentant l'ensemble vide. C'est le plus petit nombre entier naturel, et également un élément neutre, le seul à ne pas avoir d'inverse : il est à la fois positif et négatif.
Valeur de 0!
0! = 1. puisque par convention, le produit vide est égal à l'élément neutre de la multiplication. Cette convention est pratique ici car elle permet à des formules de dénombrement obtenues en analyse combinatoire d'être encore valides pour des tailles nulles.
R*+ --> R est la définition d'une application qui prend ses valeurs dans l'ensemble des nombres réels positifs non nul(l'étoile) et dont l'ensemble d'arrivée c'est-à-dire le résultat de l'application ou la fonction est un réel (appartient à R).
Si R est l'ensemble des réels, et R+ des réels positifs, R+ est un subset de R mais les deux ont une taille infinie.
La notation « Z− » désigne l'ensemble des entiers négatifs. Il est plus rare de trouver la notation « Z+ », remplacée par la notation « N » des entiers naturels par identification. Cet ensemble est (totalement) ordonné pour la relation de comparaison usuelle héritée des entiers naturels.
Elle signifiait alors 1 000 en chiffre romain, donc un « très grand » nombre. Le symbole ∞ était quant à lui employé à l'époque comme la ligature latine de la lettre m, de la même manière que les lettres o et e peuvent être liées pour former le caractère œ.
1. Sans limites dans le temps ou l'espace : La suite infinie des nombres. 2. Qui est d'une grandeur, d'une intensité si grande qu'on ne peut le mesurer : Il est resté absent un temps infini.