En géométrie, la symétrie est la correspondance exacte entre deux figures (même dimensions et angles), par rapport à un axe (symétrie axiale), un centre (symétrie centrale) ou encore par rapport à un plan.
Deux figures sont symétriques par rapport à un point si elles sont superposables par demi-tour autour de ce point. Ce point est appelé le centre de la symétrie. Exemple : Les figures (F ) et (F ') sont symétriques par rapport au point O, donc le point O est le centre de la symétrie.
Si on peut amener une moitié de la figure sur l'autre, en lui faisant faire un demi-tour autour d'un point O, la figure a pour centre de symétrie le point O. Si on peut superposer les deux parties, en pliant le long d'une droite d, la figure a pour axe de symétrie la droite d.
la translation qui fait glisser les figures ; la rotation qui fait tourner les figures ; la symétrie centrale qui fait tourner les figures de 180°.
Quelles propriétés la symétrie centrale conserve-t-elle ? La symétrie centrale conserve les longueurs. Les dimensions du symétrique par rapport à un point d'une figure sont identiques à celles de la figure initiale. Conséquence : L'image d'un segment par une symétrie centrale est un segment de même longueur.
La symétrie centrale conserve l'alignement. Le segment [B'D'] de centre C est le symétrique du segment [BD] de centre C' par rapport au point A. La symétrie centrale conserve l'alignement : B', C' et D' sont alignés. La symétrie centrale conserve les distances.
Une symétrie centrale fait tourner une figure autour d'un point en effectuant un demi-tour. Le point A' est l'image du point A par la symétrie de centre O signifie que : - Les points A, O et A' sont alignés, - AO = OA'. Construire l'image A'B'C' du triangle ABC par la symétrie de centre O.
Le centre de symétrie :
Une figure admet un centre de symétrie si son image par la symétrie centrale de centre O est elle-même. Exemple : Dans le cas représenté ci-contre, si tu opères un demi-tour autour de O, la figure reste inchangée. Le point O est donc le centre de symétrie.
Un triangle quelconque n'admet pas d'axe de symétrie. Un triangle équilatéral possède trois axes de symétrie.
Les propriétés de la symétrie axiale
La symétrie axiale respecte des propriétés géométriques : Le symétrique d'une droite par symétrie axiale est une droite. Le symétrique d'un segment par symétrie axiale est un segment de même longueur. Le symétrique d'un angle par symétrie axiale est un angle de même mesure.
Un triangle ne possède pas de centre de symétrie car il a un nombre impair de côtés. Ceux-ci ne pourront jamais être parallèles deux à deux.
Une figure possède un axe de symétrie lorsque la figure est partagée par une droite en deux parties superposables. La médiatrice (d) d'un segment [AB] est l'axe de symétrie de ce segment. La bissectrice d'un angle est l'axe de symétrie de cet angle.
Certaines figures (polygone, rosace, pavage, frise,...) possèdent un centre de symétrie (point O). L'image d'une telle figure par symétrie de centre O se superpose sur la figure elle-même.
La médiatrice passe par les points d'intersection M et N des arcs. Si la fonction f vérifie: pour tout x de Df tel que a – x et a + x ∈ Df , f( a – x) + f(a + x) = 2b, alors le point de coordonnées (a; b) est un centre de symétrie de la courbe représentative de f.
Symétrique d'un point Deux points A et A' sont symétriques par rapport à une droite (d) s'ils se superposent par pliage le long de cette droite. Définition : On dit que le point A' est le symétrique du point A par rapport à une droite (d) si la droite (d) est la médiatrice du segment [AA'].
En général, un parallélogramme ne possède pas d'axe de symétrie. Toutefois sauf s'il est rectangle (comportant des angles droits) ou isocèle (ayant des côtés adjacents isométriques), le parallélogramme comporte deux axes de symétrie perpendiculaires.
L'image d'une droite par une symétrie centrale est une droite parallèle.
Appliquer rotation sur une figure, c'est faire tourner la figure autour d'un centre selon un angle donné et dans un sens donné. Remarques : 1) Une rotation d'angle 180° est une symétrie centrale. 2) L'image du point O par une rotation de centre O est le point O lui-même. On dit que le point O est invariant.
Propriété des alignements
Il y a conservation de l'alignement des points dans une symétrie centrale. La symétrie centrale conserve l'alignement des points. B, X et C sont alignés, donc leurs images B', X' et C' sont également alignés. Les symétriques de 2 droites parallèles sont donc également parallèles.
La symétrie est la correspondance parfaite entre deux formes. Elle se définit toujours par rapport à un axe de symétrie. D'où son nom de symétrie axiale. Cet axe est comme un miroir qui sépare les deux éléments symétriquement semblables.
Deux figures sont symétriques quand elles sont identiques, superposables et que l'on peut tracer un axe de symétrie entre elles. L'axe de symétrie est la ligne droite qui va partager ces deux figures en deux parties identiques.
La symétrie centrale conserve les aires. La symétrie centrale conserve la mesure des angles. Le symétrique d'un angle par rapport à un point est un angle de même mesure. Deux angles opposés par le sommet sont symétriques par rapport à ce sommet.