Le produit scalaire et le produit vectoriel sont deux calculs réalisés à partir deux vecteurs de même nombre de composantes. Ils ont en revanche des différences fondamentales: Avec le produit scalaire on obtient un scalaire (c'est-à-dire un nombre) tandis qu'avec le produit vectoriel on obtient un vecteur.
Le produit vectoriel est une opération qui peut être appliquée à deux vecteurs et qui produit un autre vecteur. Le produit vectoriel est utilisé dans de nombreux domaines de la physique. Il peut notamment être utile pour calculer le couple sur un objet.
Un produit scalaire sur V est une forme bilinéaire, symétrique, et définie positive. Un F-espace vectoriel V muni d'un produit scalaire est un espace vectoriel préhilbertien. Si dimV < ∞ et F = R, alors V est un espace euclidien (même si le produit scalaire sur V n'est pas le produit scalaire euclidien).
le produit vectoriel de deux vecteurs est nul si et seulement si ces deux vecteurs sont colinéaires.
Si nous avons deux vecteurs u → = ( u x u y u z ) et v → = ( v x v y v z ) , la formule du produit vectoriel est donnée par u → ∧ v → = ( u 2 v 3 − u 3 v 2 u 3 v 1 − u 1 v 3 u 1 v 2 − u 2 v 1 ) Pour te rappeler de cette formule tu peux également considérer le produit vectoriel comme étant le déterminant de la matrice ...
Le produit vectoriel est linéaire à gauche : →u×(α→v+β→w)=α(→u×→v)+β(→u×→w). Le produit vectoriel est linéaire à droite : (α→u+β→v)×→w=α(→u×→w)+β(→v×→w).
Le produit scalaire sert à différentes choses, notamment le calcul de l'angle entre deux vecteurs. Lorsque nous disposons des composantes des vecteurs, nous utiliserons la formule u → ⋅ v → = u x v x + u y v y + u z v z pour calculer le produit scalaire.
Le produit vectoriel est commutatif, quel que soit l'ordre dans lequel interviennent les deux vecteur, le résultat reste le même.
Propriétés algébriques
Le produit vectoriel est un produit distributif, anticommutatif, non associatif : Distributivité sur l'addition : , Compatibilité avec la multiplication.
Étymologiquement, colinéaire signifie sur une même ligne : en géométrie classique, deux vecteurs sont colinéaires si on peut en trouver deux représentants situés sur une même droite. sont parallèles. Cette équivalence explique l'importance que prend la colinéarité en géométrie affine.
Le produit scalaire possède de multiples applications. En physique, il est, par exemple, utilisé pour modéliser le travail d'une force. En géométrie analytique il permet de déterminer le caractère perpendiculaire de deux droites ou d'une droite et d'un plan.
Soit deux vecteurs →u et →v; le nombre réel résultant de l'opération notée →u⋅→v et telle que →u⋅→v=‖→u‖⋅‖→v‖cosθ, où ‖→u‖ désigne la norme du vecteur u, ‖→v‖ désigne la norme du vecteurv et θ est la mesure de l'angle formé entre les directions des deux vecteurs.
Pour calculer les coordonnées d'un vecteur à partir de deux points, nous devons soustraire les coordonnées du point de départ des coordonnées du point d'arrivée. Autrement dit, si nous disposons des points A ( x A , y A ) et B ( x B , y B ) , alors nous avons le vecteur A B → = ( x B − x A y B − y A ) .
Deux vecteurs non nuls sont orthogonaux si, et seulement si, u ⋅v =0.
Definition. - par convention, le vecteur nul est orthogonal à tout vecteur. Les vecteurs et sont dits orthogonaux si les droites (AB) et (AC) sont perpendiculaires.
Adjectif. (Géométrie) De même direction (se dit de vecteurs). Deux vecteurs colinéaires et de même module sont égaux ou opposés. Le vecteur nul est colinéaire à tout vecteur.
Pour montrer qu'un ensemble E est un e.v., il suffit généralement de montrer que E est un s.e.v. d'un autre e.v. bien connu (ex. : fonctions ayant une certaine propriété, matrices d'une forme particuli`ere, ...) ou une variante (u + v ∈ E et λu ∈ E, ou : λu + µv ∈ E).
Le format vectoriel est pratique pour les images de qualité qui doivent être redimensionnées à différentes échelles. Comme ils sont créés en utilisant des formules mathématiques, les fichiers vectoriels ne se déforment pas et ne deviennent pas flous, quels que soient leur agrandissement ou leur réduction.
où le point centré représente le produit scalaire(*). La vérification du fait que ce produit est associatif est aisée. Elle repose sur deux propriétés classiques du produit vectoriel, à savoir le fait qu'il agit par applications antisymétriques et l'identité du double produit vectoriel.
En mathématiques, et plus précisément en géométrie, le produit vectoriel est une opération vectorielle effectuée dans les espaces euclidiens orientés de dimension 3. Le formalisme utilisé actuellement est apparu en 1881 dans un manuel d'analyse vectorielle écrit par Josiah Willard Gibbs pour ses étudiants en physique.
La norme d'un vecteur correspond à sa longueur, c'est-à-dire à la distance qui sépare les deux points qui définissent le vecteur.
Si les deux vecteurs ont le même sens, alors leur produit scalaire sera toujours un nombre POSITIF. Mais, si les vecteurs sont de sens opposés, alors leur produit scalaire sera NEGATIF. Si un des vecteurs est nul ( égal à 0) alors le produit scalaire des deux vecteurs est nul (égal à 0).
Comme les vecteurs A I → \overrightarrow{AI} AI et B I → \overrightarrow{BI} BI sont orthogonaux le produit scalaire A I → ⋅ B I → \overrightarrow{AI} \cdot \overrightarrow{BI} AI⋅BI est nul ; pour la même raison le produit scalaire I B → ⋅ I C → \overrightarrow{IB} \cdot \overrightarrow{IC} IB⋅IC ...
Produit scalaire et norme
Soit ⃗ u un vecteur. Le carré scalaire de ⃗ u est égal à sa norme au carré : ⃗ 2 = ∣ ∣ u ⃗ ∣ ∣ 2 \vec u^2 =||\vec u||^2 u 2=∣∣u ∣∣2.