Distributivité simple La multiplication est distributive par rapport à l'addition, c'est-à-dire que : k × (a + b) = k × a + k × b pour tous les nombres k, a et b.
1) On veut calculer le produit d'un nombre par une somme :
Méthode 2 : on développe le produit. Comme la multiplication est distributive par rapport à l'addition, on a : k × (a + b) = k × a + k × b. Donc 6 × (10 + 2) = 6 × 10 + 6 × 2 = 60 + 12 = 72.
On utilise la distributivité de la multiplication complexe pour montrer par exemple que (1 + i)2 = 1 + 2i + i2 = 2i, c'est-à-dire que 1 + i est une racine carrée de 2i. Plus généralement, on montre que le produit de deux entiers de Gauss est un entier de Gauss.
La multiplication est ainsi distribuée au sein de la parenthèse, c'est ce qu'on appelle la distributivité simple. La distributivité simple consiste à distribuer la multiplication à chaque terme de la parenthèse. Le signe entre les deux multiplications (+) est le même que le signe dans la parenthèse (+).
Factoriser, c'est transformer une somme ou une différence en un produit. En effectuant une lecture de droite vers la gauche des formules de distributivité, on a : k × a + k × b = k × (a + b). k × a − k × b = k × (a − b).
Pour parvenir à factoriser une expression en un produit de facteurs, il faut d'abord chercher si l'on peut isoler un facteur commun. Par exemple on va chercher le terme commun qui permet de multiplier le premier terme par la deuxième expression : 4x+20 par exemple, est égal à 2 x (2x + 10).
Ici on peut factoriser l'expression par le nombre 5, c'est un facteur commun aux deux termes de la somme. On obtient bien un produit. Ici on observe un facteur commun, c'est 4x+3. On peut donc le mettre en facteur c'est à dire déterminer par combien on doit le multiplier pour que l'égalité reste vraie.
Pour mémoriser les formules, il est impératif d'associer chaque variable (x ; a ; b ; r ; f ; racine carrée ; delta ; ² etc.) à une image mentale. On laisse de côté pour l'instant les +/-/= et la barre de division.
La distributivité double permet de développer une expression dans laquelle une parenthèse est multipliée par une autre parenthèse.
Développer une expression consiste à l'écrire sous la forme d'une somme ou d'une soustraction. Cela revient à transformer une multiplication (ou un produit) de plusieurs termes semblables en une opération de sorte que l'on obtienne des formules de type : k x (a + b) = k x a + k x b.
Définitions pour les règlesde calcul 📚
Pour rappel : Développer c'est transformer un produit en somme. Factoriser c'est transformer une somme en produit en faisant apparaître son facteur commun. Réduire c'est effectuer dans une expression littérale des calculs possibles.
La règle mathématique qui permet de décomposer une multiplication s'appelle la distributivité. Voici cette règle : on ne change pas le résultat d'une multiplication si on réécrit l'un des facteurs sous la forme de la somme de deux nombres.
On dit que la multiplication est distributive pour l'addition car on a distribué c aux deux termes de la somme.
L'intersection des ensembles A et B est l'ensemble des éléments qui appartiennent à la fois à A et à B. On la note A ∩ B. Formellement, x ∈ A ∩ B ⇔ (x ∈ A et x ∈ B) Par exemple, si A = {2,5,7} et B = {1,5,7,9}, on a A ∪ B = {2,5,7,1,5,7,9} = {1,2,5,7,9}, et A ∩ B = {5,7}.
L'intersection est distributive par rapport à l'union : (A ∪ B) ∩ C = (A ∩ C) ∪ (B ∩ C). est exactement équivalent à dire qu'il appartient soit à la fois à C et à A, soit à la fois à C et à B (2è membre). Et réciproquement l'union est distributive par rapport à l'intersection : (A ∩ B) ∪ C = (A ∪ C) ∩ (B ∪ C).
Pour transformer une addition répétée en multiplication, j'observe les nombres à additionner. S'ils sont identiques, je compte le nombre de fois où ce même nombre apparaît. 12+12+12+12= ? → Le nombre 12 apparaît 4 fois.
Règles de priorité
Pour calculer une expression numérique sans parenthèses, on effectue les calculs de la gauche vers la droite, en commençant par les multiplications et les divisions qui ont priorité sur les additions et les soustractions.
Lorsque l'on reconnait un facteur commun dans une somme de termes, on peut le factoriser. Le facteur commun est ici $(x + 2)$. On met donc $(x +2)$ en facteur, en ne l'écrivant qu'une fois, puis dans le second facteur on recopie les facteur qui multipliait $(x + 2)$ ainsi que le signe entre les deux termes.
Voici l'ordre de priorité des opérations qu'il faut respecter : Les Parenthèses. Les Exposants. Les Multiplications et les Divisions (de la gauche vers la droite)
Pour réussir un exercice de mathématiques il est important de bien lire et comprendre son cours. Ensuite, lire l'énoncé de l'exercice de mathématiques en s'assurant de bien le comprendre également puis résoudre l'exercice et terminer en écrivant une phrase de conclusion.
Soyez très attentif à l'énoncé.
Lisez le problème en entier avant de commencer à le résoudre. Assurez-vous de bien comprendre la situation, ainsi que les opérations mathématiques que vous devrez utiliser. Certains problèmes seront accompagnés de graphiques, de schémas ou de tableaux.
Pour simplifier l'écriture d'une expression littérale, on peut supprimer le symbole × devant une lettre ou une parenthèse. Remarque : On ne peut pas supprimer le signe × entre deux nombres. Exemple : Simplifie l'expression suivante : A = – 5 × x + 7 × (3 × x – 2) × (– 4).
Factoriser une expression, c'est transformer une somme ou une différence en un produit. Il faut donc à la base avoir au moins deux termes que l'on additionne ou soustrait. Par exemple dans 8x + 5, les deux termes sont 8x et 5. Dans 6(x+4)2 – 9, les deux termes sont 6(x+4)2 et 9.