= S(n) n (0) = 0. (ξn+1) = 1, on obtient, pour x = b−a, Rn(b − a) = (b − a)n+1 (n + 1)! f(n+1)(a + ξn+1). Remarque Noter que la formule de Taylor-Lagrange (de même que le théor`eme de Rolle) n'est pas valable si f est `a valeurs dans lC.
A = (X − α)Q + A(α). Soit α ∈ K et P ∈ K[X]. On dit que α est une racine de P lorsque P(α) = 0. Soit α ∈ K et P ∈ K[X].
Soit f une fonction définie sur un intervalle I de R , x0 un point de cet intervalle, et on suppose que f est indéfiniment dérivable en x0 . La série de Taylor de f en x0 est la série de fonctions +∞∑n=0f(n)(x0)n! (x−x0)n.
Deux séries sont dites de même nature lorsqu'elles sont toutes les deux convergentes ou toutes les deux divergentes. Déterminer la nature d'une série c'est déterminer si elle converge ou si elle diverge.
Les séries entières sont les séries dont le terme général est de la forme aₙ(x - a)ⁿ.
La formule de Taylor, du nom du mathématicien Brook Taylor qui l'établit en 1712, permet l'approximation d'une fonction plusieurs fois dérivable au voisinage d'un point par un polynôme dont les coefficients dépendent uniquement des dérivées de la fonction en ce point.
On calcule le discriminant Δ = b2 – 4ac de la fonction polynôme f définie par f(x) = ax2 + bx + c. Étudier le signe du discriminant Δ. Si Δ < 0, alors cette équation n'admet pas de solutions réelles. Si Δ = 0, alors cette équation admet une solution unique .
La méthode consiste donc à multiplier le premier coefficient par x0 et à lui ajouter le deuxième coefficient. On multiplie alors le nombre obtenu par x0 et on lui ajoute le troisième coefficient, etc.
Le théorème du reste permet de déterminer facilement si un polynôme est divisible par un binôme du premier degré.
La règle de Horner ne peut être utilisée que lorsque le diviseur est un polynôme du premier degré. Par exemple, divisons 2x4−18x2+2x+5 par x+3.
Cette méthode permet de calculer l'image d'un polynôme P en un point x o x_o xo. En outre, elle permet d'obtenir la division euclidienne de P ( x ) P(x) P(x) par ( x − x o ) (x-x_o) (x−xo), utile pour la factorisation des polynômes.
Le degré du polynôme nul est, soit laissé indéfini, soit défini comme étant négatif (habituellement, −1 ou −∞). Comme toute valeur constante, la valeur 0 peut être considérée comme un polynôme (constant), appelé le polynôme nul. Il n'a aucun terme non nul et ainsi, de façon rigoureuse, il n'a pas de degré non plus.
Pour simplifier une fonction rationnelle 𝑓 ( 𝑥 ) = 𝑝 ( 𝑥 ) 𝑞 ( 𝑥 ) , nous devons effectuer les étapes suivantes : Déterminer les valeurs de 𝑥 avec 𝑞 ( 𝑥 ) = 0 . Ensuite, le domaine de définition de 𝑓 ( 𝑥 ) comprend toutes les valeurs réelles sauf ces racines.
Le coefficient dominant d'un polynôme est le coefficient de son monôme de plus haut degré. Le coefficient constant d'un polynôme est le coefficient de son monôme de degré 0. Soit le polynôme P(x)=3x2-5x+7. Son coefficient dominant est 3 et son coefficient constant est 7.
Développer, c'est transformer une multiplication en une somme ou en une différence. La multiplication est distributive sur l'addition. Cela signifie que, pour tous nombres k, a et b, on a : k(a + b) = ka + kb.
Calcul de développement limité
En effet, une fonction f est dérivable en un réel a de son domaine de définition si et seulement si elle admet un développement limité à l'ordre 1 et dans ce cas ce développement s'écrit f ( x ) = f ( a ) + f ′( a ) × ( x − a ) + o x → a ( x − a ).
Propriété Soit f ( x ) = a x 2 + b x + c où a ≠ 0 un polynôme du second degré et Δ = b 2 − 4 a c son discriminant. Si : se factorise sous la forme f ( x ) = a ( x − x 1 ) ( x − x 2 ) où et sont les deux racines du polynôme.
On appelle fonction polynôme du troisième degré toute fonction f définie sur R et qui s'écrit f(x) = ax3 + bx2 + cx + d où a, b, c et d sont des réels fixés et a = 0. Propriété : Soient a, x1 et x2 des réels. La fonction f définie par f(x) = a(x − x1)(x − x2)(x − x3) est une fonction polynôme du troisième degré.
Pour décomposer un polynôme P∈R[X] P ∈ R [ X ] en produits d'irréductibles de R[X] , peut commencer par le décomposer en produits d'irréductibles de C[X] , puis regrouper les facteurs correspondants à deux racines non réelles conjuguées (voir cet exercice).
Si k \notin J_i alors l'équation f\left(x\right) = k n'admet pas de solution sur I_i. Si k \in J_i alors d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation f\left(x\right) = k admet une unique solution sur I_i.
De la même façon, on dit que polynômes P 1 , P 2 , . . . , P n sont premiers entre eux dans leur ensemble si leur PGCD est égal à 1.
Somme d'expressions algébriques formées par des termes où figurent une ou plusieurs variables. Exemple : 3X3 + 56X2 + 2 est un polynôme de la variable X.
– Si tous les coefficients ai sont nuls, P est appelé le polynôme nul, il est noté 0. – On appelle le degré de P le plus grand entier i tel que ai = 0 ; on le note degP. Pour le degré du polynôme nul on pose par convention deg(0) = −∞. – Un polynôme de la forme P = a0 avec a0 ∈ K est appelé un polynôme constant.
Un monôme est une expression de la forme a x n ou a est un nombre réel et un entier naturel. Exemple : 3 x 2 . Un polynôme est une somme algébrique de monômes. Exemple : 3 x 2 + 6 x − 1 .
Si est un polynôme non nul, l'expression a n X n où est le degré de (i.e. a n ≠ 0 ), est appelée terme dominant de et notée d o m ( P ) . Le coefficient est appelé coefficient dominant du polynôme . Un polynôme est dit unitaire si son coefficient dominant est égal à 1.