Conclure. Si le quotient est supérieur ou égal à 1 pour tout n, la suite est croissante. Si le quotient est inférieur ou égal à 1 pour tout n, la suite est décroissante. Si la position du quotient par rapport à 1 varie en fonction de la valeur de n, la suite n'est pas monotone.
Pour conjecturer la limite d'une suite, il suffit de calculer quelques valeurs de la suite, avec une calculatrice par exemple, et de voir si un motif ressort. Les trois premiers termes de la suite définie par u n = sin pour n ≥ 1 sont 0,841 , 0,457 , 0,047 .
Si une suite admet pour limite le nombre réel I on dit qu'elle est convergente vers I (ou qu'elle converge vers I ou qu'elle tend vers I). On note : ou lim u = I. La limite d'une suite est unique. Les suites , où k est un entier positif non nul, convergent vers 0.
On dit qu'une suite réelle diverge si elle ne converge pas. Une suite divergente peut soit avoir une limite infinie, soit n'avoir aucune limite.
Soit (un) une suite. On dit que : a) la suite (un) est croissante si pour tout n ∈ : un ⩽ un+1 ; b) la suite (un) est décroissante si pour tout n ∈ : un ⩾ un+1 ; c) la suite (un) est monotone si elle est croissante ou décroissante ; d) la suite (un) est constante si pour tout n ∈ : un+1 = un.
(Mathématiques) Qualifie une fonction à une seule variable, qui n'est pas continue ou uniquement croissante ou décroissante dans un intervalle donné. Cette fonction est caractérisée par une courbe en forme de "U", elle est donc non-monotone.
Pour être monotone une suite doit étre croissante ou décroissante au moins à partir d'un certain rang.
On dit qu'une suite est divergente et tend vers +∞ si, pour tout nombre réel A, à partir d'un certain rang, tous les termes de la suite sont supérieurs à A. On dit qu'une suite est divergente et tend vers –∞ si, pour tout nombre réel A, à partir d'un certain rang, tous les termes de la suite sont inférieurs à A.
Si (un) et (vn) sont deux suites adjacentes, alors elles convergent vers la même limite. On commence par démontrer que les hypothèses entrainent que, pour tout n∈N n ∈ N , on a un≤vn u n ≤ v n . Pour cela, on remarque que la suite (vn−un) ( v n − u n ) est décroissante et tend vers 0 0 .
Définition : Si est une suite convergente, l'unique réel , tel que converge vers , s'appelle la limite de la suite et se note lim n → + ∞ u n . On notera désormais l = lim n → + ∞ u n et on dira que la suite est convergente et a pour limite , plutôt que la suite converge vers .
si la raison est positive (r > 0), la limite est +∞ ; si la raison est négative (r < 0), la limite est –∞ ; si la raison est nulle (r = 0), la suite est constante et converge donc vers la constante.
Aucune difficulté pour connaître la limite d'une suite arithmétique : −∞ si la raison est strictement négative, +∞ si elle est strictement positive. La suite est constante si la raison est nulle (seul cas où une suite arithmétique converge).
La conjecture n'est pas une démonstration, c'est une généralité déduite de l'observation, une hypothèse. Conjecturer la limite d'une suite est donc l'observation du comportement de la suite pour un n élevé.
Le logarithme naturel de 0 n'existe pas. Mais ln(x) tend vers l'infini négatif lorsque x tend vers 0.
On voit que le x peut tendre vers 0 de 2 manières : par valeurs négatives (en venant de la gauche) ou positives (en venant de la droite). On rajoute x > 0 si x tend vers 0 par valeurs positives, et x < 0 si x tend vers 0 par valeurs négatives. Cela revient au même, 0+ signifie x > 0, et 0– signifie x < 0.
Dire qu'une série diverge ne signifie pas que les sommes partielles tendent vers l'infini : Par exemple, la série de terme général un = (-1)n est divergente.
Il est clair que / admet une limite en a si et seulement si / admet une limite à gauche et à droite en a et / (a) = /- (a) (et alors lim xªa /(x) est égale à cette valeur commune).
Définition : Limite d'une fonction
Si 𝑓 ( 𝑥 ) tend vers une certaine valeur ℓ lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 (des deux côtés) mais pas nécessairement quand 𝑥 = 𝑎 , alors on dit la limite de 𝑓 ( 𝑥 ) quand 𝑥 tend vers 𝑎 est égale à ℓ et on note l i m → 𝑓 ( 𝑥 ) = ℓ .
1. Uniformité de ton, d'intonation, d'inflexion : Monotonie de la voix. 2. Manque lassant de variété, de diversité : La monotonie d'un paysage.
Son sens de monotonie est donné par le signe de u1−u0 u 1 − u 0 . Si u1≥u0 u 1 ≥ u 0 , alors (un) est croissante, sinon (un) est décroissante. On conclut alors souvent de l'une des 2 façons suivantes : On arrive à prouver que (un) est bornée (parce que I l'est par exemple).
En mathématiques, une fonction monotone est une fonction entre ensembles ordonnés qui préserve ou renverse l'ordre. Dans le premier cas, on parle de fonction croissante et dans l'autre de fonction décroissante.
La remarque de Fred te permet alors de savoir si elle est croissante ou non pour n assez grand. La suite est monotone à partir d un certain rang p lorsque le quotient up+1up u p + 1 u p dépasse une certaine valeur.