Résoudre une telle équation différentielle, c'est trouver toutes les fonctions dérivables y définies sur I à valeurs dans R ou C vérifiant, pour tout x∈I x ∈ I , y′(x)+a(x)y(x)=b(x) y ′ ( x ) + a ( x ) y ( x ) = b ( x ) . Dans la suite, on supposera toujours que a,b sont continues sur I .
Méthode : Pour trouver une solution particulière de y +a(x)y = δ(x), on peut chercher sous la forme x ↦→ C(x)h(x) où h est solution de l'équation homogène.
Ces équations différentielles sont utiles, car elles interviennent dans la modélisation de phénomènes très vastes allant de la dynamique des populations à la prédiction de la fonte des banquises. Elles sont impliquées dans beaucoup de phénomènes qui nous entourent comme la météo ou l'effet papillon.
Si une fonction y = f ( x ) est dérivable en tout point d'un intervalle on définit la différentielle de cette fonction par : d f = f ′ ( x ) Δ x où est un accroissement arbitraire de la variable.
On appelle équation différentielle linéaire scalaire d'ordre n définie sur I toute équation de la forme x(n)(t)=an−1(t)x(n−1)(t)+an−2(t)x(n−2)(t)+⋯+a0(t)x(t)+b(t) x ( n ) ( t ) = a n − 1 ( t ) x ( n − 1 ) ( t ) + a n − 2 ( t ) x ( n − 2 ) ( t ) + ⋯ + a 0 ( t ) x ( t ) + b ( t ) avec a0,…,an−1 a 0 , … , a n − 1 et b:I→K ...
Pour savoir si une fonction donnée f est solution ou non d'une équation différentielle ( E ) , il suffit donc de remplacer y par f ( t ) et y ′ par f ′ ( t ) dans le premier membre de l'équation différentielle et de voir, après simplification, si on retrouve le second membre.
b) Equation avec second membre : Considérons l'équation ay" + by' + cy = d(x). Soit y0 solution de cette équation. On remarque alors que, comme dans le cas des équations du premier ordre : Page 9 - 9 - i) si z est solution de l'équation homogène associée, alors y0 + z est solution de l'équation complète.
Le terme œquatio differentialis ou équation différentielle est apparu pour la première fois sous la plume de Leibniz1 en 1676 pour définir la relation entre les différentielles dx et dy des deux variables x et y.
On dispose d'une méthode générale pour les équations linéaires : on remarque que si y1 et y2 sont deux solutions de l'équation linéaire u(y) = b, alors leur différence y1 − y2 vérifie u(y1 − y2) = 0. On est ainsi conduit `a considérer l'équation sans second membre, ou équation homog`ene u(y) = 0.
On définit ainsi la dérivée d'ordre n de f, notée f(n). Définition 2 : Une équation différentielle d'ordre n est une équation où l'inconnue est une fonction f(x) et qui fait intervenir la dérivée d'ordre n de f et éventuellement x, f(x) et les dérivées intermédiaires.
Définition : Une équation différentielle est une équation où l'inconnue est une fonction, et qui se présente sous la forme d'une relation entre cette fonction et ses dérivées. Ex : y^'+ay=0 avec a réel est une équation différentielle. f est une solution de l'équation différentielle.
Résolution de l'équation différentielle y′ + 2y = 0 dont la solution f vérife f(0) = 1 : Les solutions sont du type f(x) = ke−2x où k est une constante réelle. f(0) = 1 ⇐⇒ ke−2×0 = 1 ⇐⇒ k = 1, D'où f(x) = e−2x.
Équation différentielle y' = f
Une fonction F est une primitive de f sur I, lorsque pour tout réel x ∈ I, F′(x) = f(x). Une primitive de f sur I est solution de l'équation différentielle y′ = f. Deux primitives d'une même fonction continue sur un intervalle diffèrent d'une constante.
Afin de déterminer le nombre de solutions d'une équation du type f\left(x\right)=k sur I, on utilise le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires pour chaque intervalle de I sur lequel la fonction est strictement monotone.
avec : — f(t) = t2 + 2t; — f(t) = tet. Solution. La solution du problème y(t) est la summe de la solution de l'équation homogène et d'une solution particulière de l'équation non homogène : y(t) = yh(t) + yp(t).
Définition : Une équation différentielle du second ordre est une équation portant sur une fonction inconnue , dans laquelle intervient sa dérivée seconde . Sa forme la plus générale est F ( x , y , y ′ , y " ) = 0 .
La définition d'une dérivée n'étant plus appliquable lorsqu'on quitte le territoire des fonctions de la variable réelle, on utilise alors les différentielles (définies comme la partie linéaire d'un certain développement limité à l'ordre 1) pour retrouver des notions qui s'en rapprochent.
Exemple : si sous la protection de l'interrupteur différentiel vous avez un chauffe-eau 20 A, un sèche serviette 10 A, 1 ligne de prises de 16 A. Alors, le calcul sera : 20 + 10 + (16 : 2) = 38, un interrupteur différentiel de 40 ampères peut donc suffire.
Fonction de deux variables
se calcule à l'aide de la deuxième dérivée partielle. ce qu'en physique on énonce en général sous la forme : la différentielle « totale » est la somme des « différentielles partielles ».
Résoudre une équation, c'est trouver l'ensemble des solutions qui font que l'égalité est vraie. Donc rapidement dit, résoudre une équation c'est trouver la valeur de x qui la vérifie (c'est à dire qu'avec cette valeur de x, les deux membres sont égaux).