En mathématiques, la suite de Fibonacci est une suite de nombres entiers dont chaque terme successif représente la somme des deux termes précédents, et qui commence par 0 puis 1. Ainsi, les dix premiers termes qui la composent sont 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 et 34.
(Mathématiques) Suite déterminée par la forme récurrente : F(n) = F(n − 1) + F(n − 2) et par les valeurs initiales F(0) = 0 et F(1) = 1. Les vingt premiers nombres de la suite de Fibonacci, de F(0) à F(19), sont : 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584 et 4181.
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 et 21. La suite de Fibonacci est répertoriée comme suite A000045 de l'OEIS. Elle est liée au nombre d'or, noté φ (phi), qui intervient dans l'expression du terme général de la suite.
Cette suite et le nombre d'or φ = 1,618 033 988..., limite du rapport de deux termes consécutifs de la suite, se retrouvent partout en mathématiques .
La suite de Fibonacci est présente dans de nombreuses disciplines ainsi que dans la nature. Par exemple, elle est utilisée pour décrire la croissance des plantes, estimer l'augmentation de la population sur une période donnée, modéliser les épidémies de virus et prévoir le comportement des marchés financiers.
Mais si cette suite est aussi célèbre aujourd'hui, c'est parce qu'elle a un taux de croissance exponentiel qui tend vers le nombre d'or, un ratio symbolisé par « φ », associé à de nombreuses qualités esthétiques au sein de notre civilisation.
Le premier terme de la suite de Conway est posé comme égal à 1. Chaque terme de la suite se construit en décrivant le terme précédent, c'est-à-dire en énonçant le nombre de fois où chaque chiffre est répété, suivi du chiffre en question. Concrètement : Ce terme comporte simplement un « 1 ».
Mais aussi dans la faune, notamment à travers les coquillages : le nombre d'or s'agence dans les coquilles de l'ammonite et du nautile, sous la forme d'une spirale logarithmique. Phi 1.618 s'est d'ailleurs inspiré de la coquille du nautile pour créer ses sacs Philia et Philae.
Suite de Fibonacci
Cette suite, souvent notée (Fn) est définie par ses deux premiers termes F0=F1=1 et par la relation de récurrence:∀ n∈N,Fn+2=Fn+1+Fn. Ses premiers termes sont donc : F2=F0+F1=1+1=2.
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1 597, 2 584, 4 181, … Il n'y a aucun lapin le premier mois. Le deuxième mois, un couple de lapins s'installe, mais ils n'ont pas de bébé pendant les deux premiers mois. Au quatrième mois, une nouvelle paire de lapins est née!
La suite de Fibonacci commence ainsi : 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, ... Ses deux premiers termes sont 0 et 1, et ensuite, chaque terme successif est la somme des deux termes précédents. Ainsi 0+1 = 1, 1+1 = 2, 1+2 = 3, 2+3 = 5, 3+5 = 8, etc.
Tous les nombres de la suite s'écrivent avec quatre lettres : zéro ; deux ; cinq ; sept ; huit : neuf ; onze. Ils sont rangés dans l'ordre croissant. Pour trouver le suivant, il suffit donc de trouver le premier nombre plus grand que onze et qui s'écrit avec quatre lettres : c'est donc cent.
Nombre d'or et suite de Fibonacci.
Les termes de Fibonacci sont 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, etc., et le rapport entre chaque terme et le terme précédent tend vers 1,618, ou Phi.
Le nombre d'or, aussi appelé ratio d'or, est un concept mathématique qui donne le nombre irrationnel phi ou Φ, qui équivaut approximativement à 1,618. Il provient de la séquence de Fibonacci, qui est une série de nombres dans laquelle le nombre suivant est la somme des deux nombres précédents.
Surprenant, mais le corps humain contient environ 0,2 mg d'or ! Selon une étude écrite par John Emsley et publiée par le Clarendon Press, Oxford en 1998, le corps d'une personne pesant en moyenne 70 kg contiendrait une masse totale de 0,2 milligramme d'or.
Plus formellement, un nombre parfait n est un entier tel que σ(n) = 2n où σ(n) est la somme des diviseurs positifs de n. Ainsi 6 est un nombre parfait car ses diviseurs entiers sont 1, 2, 3 et 6, et il vérifie bien 2 × 6 = 12 = 1 + 2 + 3 + 6, ou encore 6 = 1 + 2 + 3.
Du Parthénon à Mélenchon: Sa Majesté le nombre d'or [6]
Reprenons la suite de Fibonacci: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, etc. Si on fait le rapport de deux termes successifs, on obtient: 5/3 = 1,67; 8/5 = 1,6; 13/8 = 1,625; 21/13 = 1,615.
Pour obtenir 1 on doit avoir 1, 2, ou 3 fois le chiffre 1. 11 on doit avoir 1. 22 on doit avoir 22 2 on doit avoir 2 fois le chiffre 1, 2, ou 3.
La bonne réponse est 22. En effet, à partir du 3ème nombre, chaque nouveau nombre est le résultat de l'addition des deux nombres précédents moins 1. Enigme. Quel nombre complète la suite logique ?
c) 1, 2, 4, 7, 11, 16 ... - plus simplement 1 + 1 = 2 ; 2 + 2 = 4 ; 4 + 3 = 7 ; 7 + 4 = 11 ...
Connu depuis la plus haute Antiquité mais de manière empirique, étudié par Pythagore au 6e siècle avant J. -C., le nombre d'or ne sera théorisé par écrit que trois siècles plus tard par le mathématicien grec Euclide. Euclide étudie les polygones réguliers.
Elle en déduit alors les nombres qui suivent (5 + 8 = 13 ; 8 + 13 = 21 ; 13 + 21 = 37…). Cette célèbre suite porte le nom de Fibonacci, mathématicien italien du xiiie siècle.
Nombre d'or et séquence de Fibonacci
Elle continue à l'infini. Nous pouvons calculer le ratio en utilisant la formule ci-dessus (nous utilisons la lettre grecque Phi pour représenter le résultat). Le ratio est d'environ 1,618, bien que, comme Pi, il a une longue chaîne de nombres après la virgule décimale.
En mathématiques, la racine carrée de cinq, notée √5 ou 51/2, est un nombre réel remarquable ; c'est l'unique réel positif dont le carré est égal à 5. Il vaut approximativement 2,236. C'est un irrationnel quadratique et un entier quadratique (entier algébrique de degré 2).