– Si N est une matrice nilpotente et diagonalisable, alors N est semblable `a la matrice nulle, donc est nulle. Si N est nilpotente d'ordre p, etN = I + tN + t2 2!
En mathématiques, une matrice diagonalisable est une matrice carrée semblable à une matrice diagonale. Cette propriété est équivalente à l'existence d'une base de vecteurs propres, ce qui permet de définir de manière analogue un endomorphisme diagonalisable d'un espace vectoriel.
est diagonale si tous ses coefficients en dehors de la diagonale sont nuls. Le déterminant d'une matrice diagonale est le produit des coefficients diagonaux. Le produit de deux matrices diagonales est une matrice diagonale. est dite diagonalisable si elle est semblable à une matrice diagonale.
On dit qu'une matrice carrée A est nilpotente s'il existe un entier naturel p tel que la matrice Ap soit nulle. L'indice de nilpotence est alors le plus petit p. et 0 l'endomorphisme nul.
Pour démontrer qu'une matrice A est diagonalisable, la méthode la plus classique consiste à calculer le polynôme caractéristique χA et à le factoriser pour déterminer les valeurs propres de A . Si χA n'est pas scindé, A n'est pas diagonalisable. Si χA est scindé à racines simples, A est diagonalisable.
Matrices symétriques réelles
Le théorème spectral en dimension finie en déduit que toute matrice symétrique à coefficients réels est diagonalisable à l'aide d'une matrice de passage orthogonale, car les valeurs propres d'un endomorphisme autoadjoint sont réelles et ses sous-espaces propres sont orthogonaux.
−a 1+a−X ∣ ∣ ∣ ∣ = −X(1+a−X)+a = X2 −(1+a)X +a. La matrice A est diagonalisable sur R si le polynôme PA admet deux racines distinctes dans R. En effet, si PA admet une racine double r et A diagonalisable, alors l'endomorphisme de matrice A est égal à rIdE, ce qui n'est pas le cas.
Une matrice nilpotente n'est pas inversible. En effet, soit M une matrice nilpotente, d'indice p.
Un endomorphisme d'un espace de dimension n est nilpotent si et seulement si son polynôme caractéristique est égal à Xn. En effet, le polynôme caractéristique est unitaire, de degré n et a les mêmes facteurs premiers que le polynôme minimal.
La similitude est une relation d'équivalence. Deux matrices sont semblables si et seulement si elles représentent le même endomorphisme d'un espace vectoriel dans deux bases (éventuellement) différentes.
la matrice nulle est diagonale puisque toutes les valeurs qui ne sont pas sur la diagonale sont nulles .....
Définition Une matrice est dite diagonalisable si elle est semblable à une matrice diagonale. En particulier, toute matrice diagonale est diagonalisable.
Matrice diagonale
La diagonale principale d'une matrice carrée (ou d'un tableau carré de nombres) est l'ensemble des éléments dont l'indice de ligne et l'indice de colonne sont égaux. Une matrice est diagonale si tous les termes en dehors de sa diagonale principale dont nuls.
La matrice carrée nulle est non-inversible et diagonalisable. Elle est même diagonale. En revanche une matrice carrée est inversible si et seulement si elle n'admet pas 0 pour valeur propre.
2. A est diagonalisable s'il existe une matrice inversible P telle que P−1AP = ∆, où ∆ est diagonale. 3. v = (x y ) , v = (0 0 ) est un vecteur propre pour A, de valeur propre λ, si Av = λv.
Un endomorphisme u de E est diagonalisable s'il existe une base de E formée de vecteurs propres pour u . Une matrice est diagonalisable si elle est semblable à une matrice diagonale. On a le théorème important suivant concernant les endomorphismes diagonalisables.
Le polynôme caractéristique d'une matrice carrée A est det(A - λI) (c'est un polynôme en λ). ∣ ∣ ∣ ∣ a - λ b c d - λ ∣ ∣ ∣ ∣ = (a -λ)(d -λ)-cd = λ2 -(a +d)λ+ad -bc . Rappel. Les valeurs propre d'une matrice carrée sont les racines de son polynôme caractéristique.
Si f est une application linéaire de E dans F, et g une application linéaire de F dans G alors g ◦ f est une application linéaire de E dans G. Le noyau de f est l'ensemble des v ∈ E tels que f(v) = 0. C'est un sous-espace vectoriel de E noté Ker(f).
Montrer qu'une matrice A∈ℳn(?) est non inversible si, et seulement si, elle est équivalente à une matrice nilpotente. Soit f:ℳn(?)→? une application vérifiant: f(On)=0, f(In)≠0 et pour tous A,B∈ℳn(?), f(AB)=f(A)f(B).
Matrices commutant avec une matrice diagonalisable
Si cette somme est l'espace tout entier, on a donc caractérisé les matrices qui commutent à A : Si A est diagonalisable, alors les matrices qui commutent à A sont celles qui laissent stable chaque sous-espace propre de A.
Les valeurs propres de u sont donc les scalaires λ tels que u – λId n'est pas injectif (autrement dit son noyau n'est pas réduit au vecteur nul). Les valeurs propres d'une matrice carrée A de taille n sont les valeurs propres de l'endomorphisme de Kn de matrice A dans la base canonique.
Re : Diagonalisation de matrice 4*4
Donc c'est aussi det(B-xI). Les valeurs propres sont bien 1,1,-1,-1. Ensuite pour diagonaliser il faut trouver les vecteurs propres de 1, il faut résoudre Bv = 1v soit (B-1I)v = 0 (il y en a 2). Même chose pour -1: résoudre Bv = -1v soit (B+1I)v = 0, il y en a 2 aussi.
Additionnez les trois cofacteurs.
Trois cofacteurs, un pour chaque coefficient d'une seule ligne (ou colonne), que vous additionnez et vous aurez le déterminant de la matrice 3 x 3. Pour notre exemple, cela donne : (-34) + (120) + (-12) = 74.
Une matrice scalaire est une matrice diagonale (à coefficients dans un anneau) dont tous les coefficients diagonaux sont égaux, c'est-à-dire de la forme λIn où λ est un scalaire et In la matrice identité d'ordre n.
Une matrice positive est définie positive si et seulement si sa racine carrée positive est inversible. Cette propriété est utilisée pour la décomposition polaire (voir infra). Inégalité de Hadamard : le déterminant d'une matrice définie positive est inférieur ou égal au produit de ses éléments diagonaux.