Propriété Dans un plan muni d'un repère (O ; I ; J), la représentation graphique de la fonction affine x → ax + b est la droite d'équation : y = ax + b. a est le coefficient directeur de la droite et b est son ordonnée à l'origine.
On appelle fonction affine toute fonction f dont l'expression peut s'écrire sous la forme f (x) = a x + b où a et b sont des constantes. Ce nombre a est appelé coefficient directeur de la fonction affine f. Ce nombre b est appelé ordonnée à l'origine de la fonction affine f.
Autrement dit, le graphique de f est constitué de l'ensemble des points (x,y) du plan de coordonnées tels que y=f(x) et x appartient au domaine de définition de f. La représentation graphique d'une fonction f nous donne une image intéres\-sante du comportement d'une fonction.
Définition : Soit a et b deux nombres réels. Toute fonction f définie sur R par f(x) = ax + b est appelée fonction affine. Remarque : lorsque b = 0, f(x) = ax. On dit que f est une fonction linéaire.
Une fonction f est affine si on peut déterminer deux réels m et p tels que, pour tout x∈R,f(x)=mx+p. 2. Une fonction n'est pas affine lorsque le taux d'accroissement n'est pas constant. Pour tout réel x,f(x)=1×x+1 donc f est affine avec m=1 et p=1.
Une fonction affine f est une fonction dont la forme algébrique s'écrit f(x) = ax+b et qui est donc déterminée par les deux nombres a et b. Le nombre a est le coefficient directeur et le nombre b est l'ordonnée à l'origine.
La lecture graphique permet une première approche de la croissance ou de la décroissance d'une fonction. La courbe de f « monte » sur un intervalle [a ; b] se traduit par : quand les valeurs de x augmentent dans l'intervalle [a ; b], les images f(x) augmentent. On dit alors que la fonction f est croissante sur [a ; b].
La représentation graphique d'une fonction linéaire est une droite passant par l'origine du repère. La représentation graphique d'une fonction affine est une droite passant par le point de coordonnées (0 ; b). Vocabulaire : a est appelé le coefficient directeur de la droite.
Définition et vocabulaire
Prenons un exemple avec a = − 2 a=-2 a=−2 et b = 5 b=5 b=5. La fonction f qui à un nombre x associe le nombre − 2 x + 5 -2x+5 −2x+5 est une fonction affine définie sur R.
Définition et notations de fonctions affines
Soit a et b deux nombres fixés. En associant à chaque nombre "x" un nombre "ax + b" appelé image de x, on définit une fonction affine f. On notera cette fonction f : x → ax + b . L'image de x sera notée f(x) .
Pour toute fonction linéaire f, la représentation graphique de f est une droite qui passe par l'origine du repère. Inversement, pour toute droite d qui passe par l'origine du repère et qui n'est pas l'axe des ordonnées, d est la représentation graphique d'une fonction linéaire.
Définition : Une fonction affine est une fonction qui peut s'écrire sous la forme : f:x ↦ ax + b, où a et b sont deux nombres réels quelconques. Remarque : toute fonction linéaire est une fonction affine telle que b = 0. La fonction f :x ↦ 3x² + 7 n'est pas une fonction affine.
Se dit d'une fonction du premier degré à une variable, qui correspond au produit de cette variable par un nombre réel auquel est ajouté un autre nombre réel et qui s'écrit f(x) = ax + b. Une fonction affine est représentée par une droite. Une fonction linéaire est une fonction affine.
Représentation graphique
Lorsque b est nul, la droite passe par l'origine du repère cartésien. La droite a pour « pente » ou « coefficient directeur » le réel a. Si a > 0, la fonction affine est croissante (la droite « monte ») et si a < 0, elle est décroissante (la droite « descend »).
Soit f une fonction définie sur un intervalle D. On appelle image de x par f le nombre f(x). On appelle antécédent de y le nombre x telle que f(x) = y.
À retenir L'image d'un nombre placé sur l'axe de abscisses se lit sur l'axe des ordonnées. Pour lire un antécédent de 1 : on place 1 sur l'axe des ordonnées, on regarde le point de la courbe qui a pour ordonnée 1 (ici c'est N ), un antécédent de 1 est l'abscisse du point N c'est à dire – 4 .
L'image de 4 par la fonction f est 0.
Soit la fonction f, définie par f(x) = 2x - 3. f(x) est bien de la forme ax + b, avec a = 2 et b = -3 : c'est donc bien une fonction affine. On va chercher à tracer la droite d'équation y = 2x - 3. Puisqu'il s'agit d'une droite, il suffit de ne trouver que deux points pour la tracer.
Pour cela, on choisit deux valeurs simples de x et on calcule leur image par f. La représentation graphique d'une fonction affine étant une droite, déterminer deux points est suffisant pour la tracer. Il est inutile d'établir un tableau de valeurs avec plus de deux valeurs pour x.
Une fonction affine est une fonction linéaire avec l'ordonnées à l'origine b = 0 b=0 b=0. Toute fonction affine et linéaire admet une droite comme représentation graphique.
Une fonction linéaire est une fonction qui, à tout nombre x, associe le nombre ax , où a étant un nombre quelconque donné. a est appelé le coefficient de la fonction linéaire. On notera cette fonction de manière équivalente : ou f : x → ax ou f(x) = ax.
Toute droite du plan non parallèle à l'axe des ordonnées a une unique équation réduite de la forme y = px + d, et est la représentation graphique de la fonction affine f définie par f(x) = px + d. p est le coefficient directeur de la droite ; d est l'ordonnée à l'origine de la droite.
Pour déterminer le sens de variation d'une fonction f , on étudie le signe de sa dérivée : f ′ ( x ) . Pour interpréter ce signe : Si f ′ ( x ) a le signe + sur un intervalle, alors f est croissante sur cet intervalle. Si f ′ ( x ) a le signe - sur un intervalle, alors f est décroissante sur cet intervalle.