En mathématiques, et plus précisément en algèbre générale, une opération binaire est commutative si l'ordre des opérandes ne change pas le résultat. L'addition est commutative (4+3 = 7 et 3+4 = 7 aussi). De même la multiplication est commutative : comme le montre le schéma de droite, 3×2 = 2×3 = 6.
L'addition est associative
Les deux sommes sont égales à , que l'on commence par additionner et comme dans le membre de gauche ou par additionner et comme dans le membre de droite.
La commutativité de la multiplication
Dire que la multiplication est commutative, cela veut dire que pour n'importe quels nombres et , on a toujours a × b = b × a . Toutes les opérations ne sont pas commutatives mais la multiplication l'est. Quel que soit l'ordre des facteurs, le produit est le même.
Règle : pour additionner deux nombres de même signe, • on garde le même signe, • et on additionne les distances à zéro. Exemples : • (–3) + (–5) = –8 On garde le même signe – et on fait 3 + 5 pour trouver 8.
Une opération notée multiplicativement × est commutative si on peut permuter l'ordre des termes sans changer le résultat, autrement dit, si, quels que soient les éléments a et b , on a : a×b=b×a.
Commutativité ? Contrairement à l'addition, lorsqu'elle est toujours possible (par exemple dans l'ensemble des entiers relatifs), elle n'est pas commutative : 17 – 10 ≠ 10 – 17.
La règle mathématique qui permet de décomposer une multiplication s'appelle la distributivité. Voici cette règle : on ne change pas le résultat d'une multiplication si on réécrit l'un des facteurs sous la forme de la somme de deux nombres.
L'ordre des opérations à prioriser dans un calcul
Mais lorsqu'il y a plusieurs opérations à la suite, il y a alors un ordre précis à respecter : on commence toujours par les calculs entre parenthèses, puis les puissances, les multiplications ou les divisions et enfin pour terminer les additions ou soustractions.
Règles de priorité
Pour calculer une expression numérique sans parenthèses, on effectue les calculs de la gauche vers la droite, en commençant par les multiplications et les divisions qui ont priorité sur les additions et les soustractions.
Les quatre opérations arithmétiques usuelles : l'addition, la soustraction, la multiplication et la division qui sont en principe les seules opérations autorisées aux jeux de chiffres comme au Compte est bon.
1. Propriété d'une opération mathématique commutative. 2. Fait pour des éléments linguistiques de pouvoir entrer dans des cadres de phrase identiques.
La soustraction ne satisfait pas la définition de la commutativité : Une loi de composition interne ⋆ sur un ensemble E est dite commutative si et seulement si, pour tout a∈E et tout b∈E, a⋆b=b⋆a. Puisque 3−2≠2−3 dans Z, la soustraction dans Z n'est pas commutative. Point.
Règle 5 : La multiplication et la division sont prioritaires par rapport à l'addition et la soustraction.
La multiplication est associative signifie que ( a × b ) × c = a × ( b × c ) . Toutes les opérations ne sont pas associatives mais la multiplication l'est. Quelle que soit la manière dont on associe les facteurs, le résultat est le même.
L'addition et la multiplication de nombres réels sont des opérations associatives.
sur leur site. Pas moins de 500 000 multiplications ont été passées au peigne fin ! Une « forte concentration de confusion » est observée sur les tables de 7 et 8.
La multiplication et la division sont prioritaires sur l'addition et la soustraction ; Dans les parenthèses, on effectue les multiplications et divisions de gauche à droite. Même chose ensuite pour les additions et soustractions.
Dans une chaîne de calcul sans parenthèses, lorsqu'il n'y a que des additions et des soustractions, on effectue les calculs de la gauche vers la droite. Règle n°2 : Dans une chaîne de calcul sans parenthèses, on effectue d'abord les multiplications et les divisions avant les additions et les soustractions.
Les parenthèses signalent les calculs à effectuer avant les autres. À l'intérieur des parenthèses, les calculs s'effectuent en respectant les priorités opératoires. Quand l'expression présente des parenthèses enchâssées, on considère d'abord les parenthèses « intérieures ». Attention aux parenthèses inutiles !
Dans son Algebra de 1560, Pierre de La Ramée (1515-1572) emploie une manière originale de poser les opérations de l'algèbre sous la forme de ce que j'appellerai des « schémas de calcul ».
Dans les pays anglo-saxons, si l'on suit la méthode de calcul BODMAS (parenthèses, puissances, divisions, multiplications, additions et soustractions) on arrive à 16. Mais si l'on suit la méthode PEMDAS (parenthèses, exposants, multiplications, divisions, additions et soustractions), le résultat est 1.
Définitions pour les règlesde calcul 📚
Pour rappel : Développer c'est transformer un produit en somme. Factoriser c'est transformer une somme en produit en faisant apparaître son facteur commun. Réduire c'est effectuer dans une expression littérale des calculs possibles.
Pour transformer une addition répétée en multiplication, j'observe les nombres à additionner. S'ils sont identiques, je compte le nombre de fois où ce même nombre apparaît. 12+12+12+12= ? → Le nombre 12 apparaît 4 fois.
On dit que la multiplication est distributive pour l'addition car on a distribué c aux deux termes de la somme.