En mathématiques, la dérivée d'une fonction d'une variable réelle mesure l'ampleur du changement de la valeur de la fonction (valeur de sortie) par rapport à un petit changement de son argument (valeur d'entrée). Les calculs de dérivées sont un outil fondamental du calcul infinitésimal.
Graphiquement, la dérivée d'une fonction correspond à la pente de sa droite tangente en un point spécifique. L'illustration qui suit permet de visualiser la droite tangente (en bleu) d'une fonction quelconque en deux points distincts. Remarquez que l'inclinaison de la droite tangente varie d'un point à l'autre.
La dérivée est fondamentale car on la retrouve presque tout le temps avec les fonctions !! Comme on l'a vu, elle permet de connaître l'équation de la tangente, de pouvoir calculer quelques limites de formes indéterminées, et surtout de connaître le sens de variation d'une fonction !!
Soit h un nombre réel tel que a + h a+h a+h appartienne à I. On dit que f est dérivable en a si le taux d'accroissement de f en a admet pour limite un nombre réel lorsque h tend vers zéro. Ce nombre, noté f ′ ( a ) f'(a) f′(a) est appelé nombre dérivé de f en a.
Calculer la dérivée de f (x) = 2(x2 + 8)(x + 5). La dérivée d'une "fraction" est: la dérivée du numérateur • le dénominateur – le numérateur • la dérivée du dénominateur, le tout divisé par le carré du dénominateur.
Dérivée de u/v
Même remarque que le cas précédent, donc on utilise les fonctions f et g à la place, avec f(x)=u(x) et g(x)=1/v(x). Il suffit alors d'écrire pour retrouver la bonne formule : (fg)' = f'g + fg' soit u'(1/v) + u(-v'/v^2) ou (u'v - uv')/v^2 !
La dérivée de 2x est égale à 2.
La dérivée de 1 est nulle, car c'est une constante.
si la dérivée est nulle sur tout l'intervalle, la fonction est constante sur cet intervalle. Exemple : la fonction est définie sur . Sa dérivée est toujours positive (ou nulle pour x = 0).
Tirer son origine de quelque chose ; procéder, provenir, émaner.
Une notation possible pour sa dérivée est df dx (on parle de «notation différentielle»). f(x + h) − f(x) (x + h) − x . On a au dénominateur une «petite» variation de x (celui-ci varie de h, qui tend vers 0), et au numérateur, la variation de f lorsque x subit cette variation.
La dérivée seconde est la dérivée de la dérivée d'une fonction, lorsqu'elle est définie. Elle permet de mesurer l'évolution des taux de variations. Par exemple, la dérivée seconde du déplacement par rapport au temps est la variation de la vitesse (taux de variation du déplacement), soit l'accélération.
Lorsque sur un intervalle les nombres dérivés sont positifs, c'est qu'à cet endroit-ci la fonction est croissante. Graphiquement, ça se traduit par une courbe qui monte et une tangente qui en fait de même puisque son coefficient directeur est positif. Et inversement sur les intervalles où le nombre dérivé est négatif.
Naissance de la notion de dérivée : Sir Issac Newton et Gottfried Wilheim Leibniz (fin du XVIIè s.)
Si une fonction "f" est dériable sur un intervalle I alors: Si sa dérivée est positive sur cet intervalle alors la fonction y est croissante. Si sa dérivée est négative sur cet intervalle alors la focnction y est décroissante. Si sa dérivée est nulle sur cet intervalle alors la fonction y est constante.
Exemple : (3x2)' = 3 × 2x = 6x.
Autre exemple, la dérivée de la fonction cube f(x)=x3 f ( x ) = x 3 est f′(x)=3x2. f ′ ( x ) = 3 x 2 .
La fonction f = 1/u est dérivable sur tout intervalle ou la fonction u est dérivable et non nulle et on a : Démonstration : La fonction f =1/u est la composée de deux fonctions la fonction u suivie de la fonction inverse.
Le nombre dérivé au point x du produit u.v est égal à u(x) . v'(x) + u'(x) .
La dérivée, ? ′ ( ? ) est positive lorsque la courbe est au-dessus de l'axe des ? , et est négative lorsque la courbe est sous l'axe des ? . Lorsque ? ∈ ] 1 ; 5 [ , on a ? ′ ( ? ) > 0 , donc la pente de la courbe représentative de ? ( ? ) est positive.
Pour lire graphiquement le nombre dérivé de f en a, on lit le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d'abscisse a ou on le calcule avec la formule xB−xAyB−yA avec (AB) tangente en A à la courbe de f.
Re : Différentielle et dérivée
Ce qu'il faut retenir : la différentielle en un point est une application linéaire, alors que la dérivée en un point est un nombre.
Étymologie de « dériver »
(Siècle à préciser) Du latin derivare . Ce verbe… dérive non pas de rive (ripa en latin) mais du latin rivus (« cours d'eau »).