Qu'est-ce qu'une primitive d'une fonction ?
Interrogée par: Margot du Lemoine | Dernière mise à jour: 5. Juli 2024Notation: 4.6 sur 5 (9 évaluations)
En mathématiques, une primitive d’une fonction réelle f est une fonction F dont f est la dérivée :
Quelle est la primitive de la fonction ?
Primitive. Soit f une fonction définie continue sur un intervalle I. Une primitive de la fonction f sur I est une fonction F dérivable sur I telle que, pour tout x\in \mathrm{I}, {F}'(x)=f(x).
Comment expliquer ce qu'est une primitive ?
Définition de la primitive. Lorsque l'on a une fonction f(x) , il existe toujours une autre fonction F(x) , telle que si je la dérive donc F'(x) elle me donne la fonction f(x). D'autant il n'existe pas une seule fonction mais au contraire une infinité. Qu'est ce qu'une Primitive.
Comment savoir si une fonction admet une primitive ?
Condition suffisante d'existence d'une primitive
Si f est une fonction continue sur l'intervalle [a,b], alors f admet une primitive F définie pour tout x ∈ [ a , b ] x \in \left[a,b\right] x∈[a,b] par F ( x ) = ∫ a x f ( t ) d t F(x) = \int_{a}^{x}f(t)dt F(x)=∫axf(t)dt.
Quelle est la primitive de 2x ?
Ainsi, toutes les primitives de f (x) = 2x sont de la forme F (x) = x2 + C (C est une constante).
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Comment calculer la primitive ?
Pour déterminer une primitive de x↦eaxcos(bx) x ↦ e a x cos , on commence par écrire cos(bx)=Re(eibx) ( b x ) = ℜ e ( e i b x ) et donc que eaxcos(bx)=Re(e(a+ib)x) e a x cos ( b x ) = ℜ e ( e ( a + i b ) x ) .
Quelle est la formule de la primitive ?
h a donc pour primitive g(x) + ln x + k, avec k réel constant. On a donc H(x) = x ln x – x + ln x + k. Ainsi H(1) = 1 ln 1 – 1 + ln 1 + k = k – 1.
Quelle est la différence entre primitive et intégrale ?
La différence entre primitive et intégrale est qu'une primitive est une fonction tandis qu'une intégrale est un réel exprimé comme une aire algébrique (pouvant être négatif).
Est-ce que la primitive d'une fonction continue est continue ?
Toutes les fonctions n'ont pas de primitive. Et une primitive, si elle existe, n'est jamais unique : elle n'est définie qu'à une constante près. Le théorème suivant garantit l'existence d'une primitive lorsque la fonction est continue.
Comment justifier qu'une fonction est Primitivable ?
primitivable : fonction de Darboux
Ceci rejoint le fait que si F est dérivable sur [a,b], alors F est dérivable sur tout intervalle [u,v] contenu dans [a,b] : si f est primitivable sur [a,b], alors elle est primitivable sur tout intervalle [u,v] contenu dans [a,b].
Qui a inventé les primitives en maths ?
Quand, par qui, et pour quelles raisons les dérivés, intégrales, et primitives mathématiques ont-elles été utilisées pour la première fois ? - Quora. L'invention de l'analyse infinitésimale est attribuée indépendamment à Newton (le physicien anglais) et Leibniz (le philosophe allemand).
Qui a découvert la primitive ?
La première définition rigoureuse des intégrales et primitives des fonctions continues est due à Augustin-Louis Cauchy (1789-1857). Il démontre le « théorème fondamental du calcul intégral » pour les fonctions continues.
Comment calculer la dérivée d'une primitive ?
Sa dérivée est égale à F′(x)=v′(x)f(v(x))−u′(x)f(u(x)), F ′ ( x ) = v ′ ( x ) f ( v ( x ) ) − u ′ ( x ) f ( u ( x ) ) , formule qui se démontre par application du théorème fondamental du calcul intégral et par composition.
Quel est la primitive de √ U ?
Il n'y a pas de méthode donnant les primitives de √U pour le cas où U est une fonction quelconque. Il n'existe pas de formules générales d'intégration comme il existe des formules générales de dérivation. Tout au plus peut on trouver des cas particuliers, comme les formes U′U, U′U², etc.
Quel est l'intégrale de 0 ?
Intégrale et primitives
L'intégrale de la fonction nulle est nulle sur tout intervalle inclus dans l'ensemble des réels ; les primitives de la fonction nulle (sur ℝ) sont donc les fonctions constantes.
Quelle est la primitive d'une constante ?
Cela signifie qu'une primitive de 𝑓 ( 𝑥 ) = 0 est une constante 𝐹 ( 𝑥 ) = C ; ou encore, on peut dire que la primitive de 𝑓 ( 𝑥 ) = 0 est 𝐹 ( 𝑥 ) = C pour tout C ∈ ℝ .
Comment justifier qu'une intégrale est dérivable ?
Théorème (théorème fondamental du calcul intégral) : Si f est une fonction continue et positive sur [a,b] , alors la fonction F définie sur [a,b] par F(x)=∫xaf(t)dt F ( x ) = ∫ a x f ( t ) d t est dérivable sur [a,b] , et a pour dérivée f .
Est-ce qu'une intégrale est toujours positive ?
On retiendra qu'une intégrale peut être positive ou négative mais qu'une aire, elle, est toujours positive.
Comment calculer la primitive d'une intégrale ?
F'(x) = G'(x) + m = f(x). Si F est une primitive de f sur I, alors (F + k)' = F' = f, donc F + k est aussi une primitive de f sur I. Réciproquement, soit G une primitive de f sur I. Alors G' = f = F', donc G' – F' = 0, soit encore (G – F)' = 0.
Quel est l'intérêt de calculer l'intégrale ?
L'intégrale est utilisée pour calculer l'aire située sous une fonction. Cette technique est très utilisée en architecture mais aussi en probabilités continues ou même pour la construction des autoroutes.
Comment calculer l'intégrale d'une fonction ?
La principale méthode pour calculer une intégrale passe par la notion de primitive d'une fonction. La « primitivation » est l'opération qui, à partir d'une fonction f, donne une fonction F dérivable et dont la dérivée est égale à f : F′(x) = f(x).
Comment calculer la dérivée d'une fonction ?
Soit f une fonction affine définie sur par : f(x) = ax + b où a et b sont deux réels avec a ≠ 0. Alors sa dérivée est la fonction f′ définie sur par : f′(x) = a. f est de la forme u + v avec u(x) = ax et v(x) = b. Alors f′(x) = u′(x) + v′(x) = a × 1 + 0 = a.
Comment montrer que la primitive est impaire ?
et F son unique primitive prenant la valeur 0 en 0. Alors, la fonction G : x → F (x)+ F (−x) est dérivable sur de dérivée x → f (x)− f (−x) = 0. G est donc constante et comme G (0) = 0, alors :∀x ∈ G (x) = F (x)+ F (−x) = 0. F est donc impaire.
Comment faire la primitive d'une division ?
Une primitive de la division u' / u^n
On va donc calculer la dérivée de (u(x)^(-n+1))/(-n+1). La dérivée de ça c'est u'(x) pour commencer, c'est la partie facile, u'(x) que multiplie la dérivée de cette chose-là.
Comment expliquer la dérivée ?
En mathématiques, la dérivée d'une fonction d'une variable réelle mesure l'ampleur du changement de la valeur de la fonction (valeur de sortie) par rapport à un petit changement de son argument (valeur d'entrée). Les calculs de dérivées sont un outil fondamental du calcul infinitésimal.
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