Cette typologie fut l'œuvre de trois mathématiciens de la deuxième moitié du XIXe siècle et du début du XXe siècle : l'Allemand Richard Dedekind (1831-1916), le Russe Georg Cantor (1845-1918) et l'Italien Giuseppe Peano (1858-1932). L'ensemble N vient de l'appellation naturale attribuée à Peano.
L'ensemble des nombres entiers naturels est noté ℕ. Un nombre entier relatif est un nombre entier qui est positif ou négatif. L'ensemble des nombres entiers relatifs est noté ℤ. Un nombre décimal peut s'écrire avec un nombre fini de chiffres après la virgule.
C'est l'ensemble des nombres avec un nombre fini de décimales. L'ensemble D est une notation franco-française issue de la pédagogie des années 1970. Tous nombre pouvant s'écrire sous la forme d'un quotient. C'est encore Peano qui inventa cet ensemble, Q venant de quotiente en italien.
1 L'ensemble N
C'est l'ensemble des nombres entiers naturels. Un entier naturel est un nombre positif ou nul, permettant de compter des objets. Exemples : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, etc.
Ensemble de tous les entiers
L'axiome de l'infini est nécessaire pour assurer l'existence d'un ensemble contenant tous les entiers naturels. L'intersection de tous les ensembles de ce type (contenant 0 et clos pour l'opération successeur) est alors l'ensemble des entiers naturels.
Un ensemble qui n'est pas fini est dit infini. On va voir que la classe des ensembles finis est stable par les opérations usuelles de la théorie des ensembles : on ne peut introduire d'ensemble infini par ces opérations, sauf à utiliser un ensemble dont on sait déjà qu'il est infini.
En 1899, David Hilbert donne la première définition axiomatique du corps des nombres réels.
Les premiers nombres utilisés furent les nombres entiers : ils servaient à compter les objets, les troupeaux, les individus. Les premières traces de comptage connues sont les os entaillés des chasseurs du paléolithique (environ 15 000 avant J.C.) Un système d'écriture des nombres s'appelle une numération.
Grand N est actuellement une revue Interface reconnue par l'HCERES.
Les nombres naturels, représentés par N , regroupent tous les nombres entiers compris entre 0 inclusivement et l'infini positif. On utilise parfois l'appellation nombres entiers naturels pour désigner cet ensemble. Les nombres naturels représentent tous les nombres entiers positifs.
Le symbole R désigne l'ensemble des nombres réels. Tous les nombres naturels, entiers, décimaux et rationnels sont des nombres réels.
Les nombres entiers, représentés par Z , regroupent tous les nombres entiers positifs et négatifs. On utilise fréquemment l'appellation nombres entiers relatifs. On peut voir l'ensemble des nombres entiers comme l'ensemble regroupant les nombres entiers naturels (N) et leurs opposés, les nombres entiers négatifs.
Le plus petit nombre entier n'existe pas. En effet, les nombres entiers sont les nombres entiers relatifs, qui incluent les nombres entiers négatifs, jusqu'à la limite de l'infini négatif. En revanche, le plus petit des nombres entiers naturels est 0, et le plus petit nombre entier naturel non nul est 1.
Selon les acceptions, la liste des entiers naturels est donc : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 ; 10 ; 11 ; …
Le nombre 11 (onze) est l'entier naturel qui suit 10 et qui précède 12.
Sa création est liée à une polémique entre deux mathématiciens : Isaac Newton et Gottfried Wilhelm Leibniz. Néanmoins, on retrouve chez des mathématiciens plus anciens les prémices de ce type de calcul : Archimède, Thābit ibn Qurra, Pierre de Fermat et Isaac Barrow notamment.
C'était le 18 octobre 1996 à 23 heures. La France entière changeait de numéros de téléphone, selon un nouveau plan instauré par France Télécom. Depuis, la numérotation en 10 chiffres permet de localiser géographiquement la personne qui vous appelle. Trop de demandes d'ouverture de lignes.
Par exemple 1/2, 12,45 et 0,415464 sont des nombres décimaux. Par contre, le nombre 1/3 = 0,3333333... n'est pas décimal, puisque qu'il a une infinité de 3 après la virgule.
Définition : Un nombre irrationnel est un nombre qui ne peut pas s'écrire à l'aide d'une fraction. Exemples : √2, √3 ou encore sont des nombres irrationnels. Ils ne peuvent pas s'écrire sous la forme d'une fraction. Définition : Un nombre réel est un nombre rationnel ou irrationnel.
Le symbole Q désigne l'ensemble des nombres rationnels. Tous les nombres naturels, entiers et décimaux sont des nombres rationnels.
Isaac Newton (1643 - 1727) développe la géométrie analytique et l'utilise en astronomie. Cette application est l'origine de l'utilisation du terme vecteur.
Mais voici un argument assez intuitif : notre ensemble A est très similaire à l'ensemble N des entiers naturels. Nous pouvons voir l'ensemble N comme l'ensemble des mots que l'on écrit à l'aide de l'alphabet : {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Ainsi, comme N est infini dénombrable, l'ensemble A l'est également.
Par la diagonale d'un carré de côté 1, les savants grecs découvrent une longueur inexprimable, √2, dont nous savons aujourd'hui que son écriture comporte un nombre infini de décimales apparaissant de façon totalement aléatoire. Plus troublant encore, le nombre Pi qui fascine les mathématiciens depuis près de 4000 ans.
Un ensemble E est dit infini (au sens usuel) si, pour aucun entier naturel n, il n'existe de bijection de { 0, 1, … , n – 1 } (les entiers naturels strictement inférieurs à n) dans cet ensemble E.