C'est quoi l'inverse d'une matrice ?

Interrogée par: Michèle Le Lefort  |  Dernière mise à jour: 15. November 2024
Notation: 4.8 sur 5 (8 évaluations)

En mathématiques et plus particulièrement en algèbre linéaire, une matrice inversible est une matrice carrée A pour laquelle il existe une matrice B de même taille n avec laquelle les produits AB et BA sont égaux à la matrice identité. Dans ce cas la matrice B est unique, appelée matrice inverse de A et notée B = A⁻¹.

Quelle est l'inverse d'une matrice ?

Une matrice A de Mn(K) M n ( K ) est dite inversible s'il existe B∈Mn(K) B ∈ M n ( K ) tel que AB=BA=In. A B = B A = I n .

Comment trouver l'inverse d'une matrice de passage ?

Pour la déterminer il suffit donc d'écrire les vecteurs et de sur la base B ′ = ( ϵ 1 , ϵ 2 ) . On a e 1 = ϵ 1 − ϵ 2 et e 2 = ϵ 2 par conséquent la matrice de passage de la base B ′ = ( ϵ 1 , ϵ 2 ) à la base B = ( e 1 , e 2 ) est égale à : ( 1 0 1 1 ) − 1 = ( 1 0 − 1 1 ) .

Comment inverser une matrice ?

Inverser une matrice s'effectue de trois manières : trouver une forme AA-1 = I ; Calcul de l'inverse par la méthode du pivot de Gauss : Calcul de l'inverse par la résolution d'un système. Il est donc important de savoir inverser une matrice pour ne pas se retrouver bloqué lors des DST et surtout aux concours.

Comment trouver l'inverse d'une matrice d'ordre 2 ?

Donner un moyen simple d'obtenir la matrice inverse d'une matrice carrée d'ordre 2. Pour tout nombre non nul X, il existe un unique nombre Y tel que X Y = Y X = 1. On dit alors que X est inversible de nombre inverse Y ; on note Y = X -1 = .

Calculer l'inverse d'une matrice - Terminale - Maths expertes

Trouvé 33 questions connexes

Comment calculer l'inverse d'une matrice d'ordre n ?

Propriétés : Soit A, B et C des matrices d'ordre n.
  1. Si l'inverse existe alors elle est unique.
  2. A⋅A−1=In,A−1⋅A=In.
  3. Si A⋅B=B⋅C=In alors A=C.
  4. I−1n=In.
  5. (A⋅B)−1=B−1⋅A−1.
  6. (At)−1=(A−1)t.
  7. Si A est inversible alors A⋅B=A⋅C si et seulement si B=C.

Comment trouver l'inverse d'une matrice d'ordre 3 ?

On résout ( S ) par la méthode du pivot de Gauss. On a donc pour toutes matrices X et Y de M 3 , 1 ( R ) l'équivalence A X = Y ⇔ X = A ′ Y . On a donc pour toute matrice Y de M 3 , 1 ( R ) , Y = A A ′ Y on en déduit A A ′ = I 3 . De même pour toute matrice X de M 3 , 1 ( R ) , X = A ′ A X et donc A ′ A = I 3 .

Pourquoi inverser une matrice ?

Si l'inversion d'une matrice apparaît comme un exercice rébarbatif lorsqu'il est réalisé « à la main », elle ouvre de vastes perspectives pour la résolution de systèmes de plusieurs équations grâce à un emploi aisé des calculatrices et logiciels.

Comment calculer l'inverse d'une matrice sur Matlab ?

Y = inv( X ) calcule l'inverse de la matrice carrée X .
  1. X^(-1) est équivalent à inv(X) .
  2. x = A\b est calculé différemment de x = inv(A)*b et est recommandé pour résoudre les systèmes d'équations linéaires.

Est-ce que l'inverse d'une matrice triangulaire est triangulaire ?

On voit aussi que l'inverse de A n'est pas triangulaire inférieure (ce qui, vu la propriété de la diagonale du produit de deux matrices triangulaires inférieures, découle d'ailleurs du fait que les coefficients diagonaux de A ne sont pas inversibles).

Quand la matrice est inversible ?

caractérisation d'une matrice inversible

Elle est inversible si et seulement son déterminant est non nul. De plus si est inversible, det ( M − 1 ) = [ det ( M ) ] − 1 .

Comment faire un calcul de matrice ?

On définit la matrice B=Q×A×P. Calculer B et exprimer pour n entier naturel non nul Bn en fonction de n. Montrer que pour tout entier naturel non nul n, on a : An=P×Bn×Q.

Comment calculer l'inverse d'une matrice en utilisant la comatrice ?

Formule : Inverse d'une matrice

Pour voir cela, considérons la matrice générale 2 × 2 : 𝐴 =  𝑎 𝑏 𝑐 𝑑  . Pour trouver la comatrice, nous inversons les signes de 𝐴 = 𝑐   et 𝐴 = 𝑏   , pour obtenir la matrice suivante : 𝐶 =  𝑑 − 𝑐 − 𝑏 𝑎  .

Est-ce que l'inverse d'une matrice est unique ?

S'il existe une matrice appartenant à M n ( K ) telle que A B = B A = I n , elle est unique. Cela nous permet de définir l'inverse d'une matrice.

Pourquoi une matrice n'est pas inversible ?

Méthode n°2 : Une matrice A est inversible si et seulement si la famille formée par ses vecteurs colonnes est libre. Autrement dit, si vous remarquez une combinaison linéaire entre les vecteurs colonnes de la matrice A, alors cette famille est liée, donc elle n'est pas libre, donc A n'est pas inversible.

Comment savoir si une matrice 3 * 3 est inversible ?

On peut calculer directement le déterminant de A α en le développant suivant la troisième ligne ou la troisième colonne. Dans ce cas la matrice est inversible et son rang est égal à 3. Lorsque α ∈ { 0 , π } le rang de A α est strictement inférieur à 3.

Comment faire l'inverse d'une matrice sur Excel ?

Logiciel Excel

➊ Entrer les valeurs de la matrice A dans les plages B1:D3. ➋ Sélectionner la plage dans laquelle vous voulez le résultat G1:I3. ➌ Entrer la formule sans les accolades (on peut utiliser l'éditeur de formule), puis taper la combinaison Ctrl + ⇧ + Entrée ; les accolades doivent apparaître.

Comment inverser un vecteur dans MATLAB ?

Description
  1. Si A est un vecteur, alors flip(A) inverse l'ordre des éléments sur la longueur du vecteur.
  2. Si A est une matrice, alors flip(A) inverse les éléments dans chaque colonne.
  3. Si A est un tableau N-D, alors flip(A) opère sur la première dimension de A pour laquelle la taille n'est pas 1 .

Comment créer un tableau en MATLAB ?

L'un des moyens de créer un tableau multidimensionnel est d'appeler les fonctions zeros , ones , rand ou randn avec plus de deux arguments. Par exemple, R = randn(3,4,5); crée un tableau de dimension 3 x 4 x 5 avec un total de 3*4*5 = 60 éléments aléatoires normalement distribués.

Comment montrer que la matrice est inversible ?

Définition d'une matrice inversible

c'est déterminer s'il existe une matrice \(B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R}) \) telle que \(AB = BA = I_n \). Dans ce cas, la matrice \( B \) est l'inverse de \( A \), et on note \( B = A^{-1} \).

Comment savoir si une matrice est diagonalisable ou non ?

La matrice M est diagonalisable si et seulement si la somme des multiplicités géométriques est égale à la taille de M. Or chaque multiplicité géométrique est toujours inférieure ou égale à la multiplicité algébrique correspondante.

Quand la matrice est diagonalisable ?

Une matrice carrée à coefficients dans K ( K = R ou K = C ) est diagonalisable si et seulement si son polynôme caractéristique est scindé sur K et, pour chaque valeur propre, la dimension du sous-espace propre associé est égale à son ordre de multiplicité en tant que racine du polynôme caractéristique.

Comment calculer la matrice 3x3 ?

Pour calculer le déterminant d'une matrice 3 × 3 , nous pouvons utiliser la méthode de développement par les cofacteurs en choisissant une ligne ou une colonne spécifique de la matrice, en calculant les mineurs pour chaque élément de celle-ci et en alternant les signes en fonction des cofacteurs.

Comment calculer une matrice d'ordre 2 ?

Le déterminant d'une matrice 2 × 2 est calculé en prenant la différence des produits de ses diagonales : | | | 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 | | | = 𝑎 𝑑 − 𝑏 𝑐 .

Comment calculer le carré d'une matrice ?

Définition : Carré d'une matrice

-à-d. 𝑎 = 𝑎 × 𝑎  ), le carré est obtenu en multipliant la matrice par elle-même.