En mathématiques et plus particulièrement en algèbre linéaire, une matrice inversible est une matrice carrée A pour laquelle il existe une matrice B de même taille n avec laquelle les produits AB et BA sont égaux à la matrice identité. Dans ce cas la matrice B est unique, appelée matrice inverse de A et notée B = A⁻¹.
Une matrice A de Mn(K) M n ( K ) est dite inversible s'il existe B∈Mn(K) B ∈ M n ( K ) tel que AB=BA=In. A B = B A = I n .
Pour la déterminer il suffit donc d'écrire les vecteurs et de sur la base B ′ = ( ϵ 1 , ϵ 2 ) . On a e 1 = ϵ 1 − ϵ 2 et e 2 = ϵ 2 par conséquent la matrice de passage de la base B ′ = ( ϵ 1 , ϵ 2 ) à la base B = ( e 1 , e 2 ) est égale à : ( 1 0 1 1 ) − 1 = ( 1 0 − 1 1 ) .
Inverser une matrice s'effectue de trois manières : trouver une forme AA-1 = I ; Calcul de l'inverse par la méthode du pivot de Gauss : Calcul de l'inverse par la résolution d'un système. Il est donc important de savoir inverser une matrice pour ne pas se retrouver bloqué lors des DST et surtout aux concours.
Donner un moyen simple d'obtenir la matrice inverse d'une matrice carrée d'ordre 2. Pour tout nombre non nul X, il existe un unique nombre Y tel que X Y = Y X = 1. On dit alors que X est inversible de nombre inverse Y ; on note Y = X -1 = .
On résout ( S ) par la méthode du pivot de Gauss. On a donc pour toutes matrices X et Y de M 3 , 1 ( R ) l'équivalence A X = Y ⇔ X = A ′ Y . On a donc pour toute matrice Y de M 3 , 1 ( R ) , Y = A A ′ Y on en déduit A A ′ = I 3 . De même pour toute matrice X de M 3 , 1 ( R ) , X = A ′ A X et donc A ′ A = I 3 .
Si l'inversion d'une matrice apparaît comme un exercice rébarbatif lorsqu'il est réalisé « à la main », elle ouvre de vastes perspectives pour la résolution de systèmes de plusieurs équations grâce à un emploi aisé des calculatrices et logiciels.
On voit aussi que l'inverse de A n'est pas triangulaire inférieure (ce qui, vu la propriété de la diagonale du produit de deux matrices triangulaires inférieures, découle d'ailleurs du fait que les coefficients diagonaux de A ne sont pas inversibles).
caractérisation d'une matrice inversible
Elle est inversible si et seulement son déterminant est non nul. De plus si est inversible, det ( M − 1 ) = [ det ( M ) ] − 1 .
On définit la matrice B=Q×A×P. Calculer B et exprimer pour n entier naturel non nul Bn en fonction de n. Montrer que pour tout entier naturel non nul n, on a : An=P×Bn×Q.
Formule : Inverse d'une matrice
Pour voir cela, considérons la matrice générale 2 × 2 : 𝐴 = 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 . Pour trouver la comatrice, nous inversons les signes de 𝐴 = 𝑐 et 𝐴 = 𝑏 , pour obtenir la matrice suivante : 𝐶 = 𝑑 − 𝑐 − 𝑏 𝑎 .
S'il existe une matrice appartenant à M n ( K ) telle que A B = B A = I n , elle est unique. Cela nous permet de définir l'inverse d'une matrice.
Méthode n°2 : Une matrice A est inversible si et seulement si la famille formée par ses vecteurs colonnes est libre. Autrement dit, si vous remarquez une combinaison linéaire entre les vecteurs colonnes de la matrice A, alors cette famille est liée, donc elle n'est pas libre, donc A n'est pas inversible.
On peut calculer directement le déterminant de A α en le développant suivant la troisième ligne ou la troisième colonne. Dans ce cas la matrice est inversible et son rang est égal à 3. Lorsque α ∈ { 0 , π } le rang de A α est strictement inférieur à 3.
Logiciel Excel
➊ Entrer les valeurs de la matrice A dans les plages B1:D3. ➋ Sélectionner la plage dans laquelle vous voulez le résultat G1:I3. ➌ Entrer la formule sans les accolades (on peut utiliser l'éditeur de formule), puis taper la combinaison Ctrl + ⇧ + Entrée ; les accolades doivent apparaître.
L'un des moyens de créer un tableau multidimensionnel est d'appeler les fonctions zeros , ones , rand ou randn avec plus de deux arguments. Par exemple, R = randn(3,4,5); crée un tableau de dimension 3 x 4 x 5 avec un total de 3*4*5 = 60 éléments aléatoires normalement distribués.
Définition d'une matrice inversible
c'est déterminer s'il existe une matrice \(B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R}) \) telle que \(AB = BA = I_n \). Dans ce cas, la matrice \( B \) est l'inverse de \( A \), et on note \( B = A^{-1} \).
La matrice M est diagonalisable si et seulement si la somme des multiplicités géométriques est égale à la taille de M. Or chaque multiplicité géométrique est toujours inférieure ou égale à la multiplicité algébrique correspondante.
Une matrice carrée à coefficients dans K ( K = R ou K = C ) est diagonalisable si et seulement si son polynôme caractéristique est scindé sur K et, pour chaque valeur propre, la dimension du sous-espace propre associé est égale à son ordre de multiplicité en tant que racine du polynôme caractéristique.
Pour calculer le déterminant d'une matrice 3 × 3 , nous pouvons utiliser la méthode de développement par les cofacteurs en choisissant une ligne ou une colonne spécifique de la matrice, en calculant les mineurs pour chaque élément de celle-ci et en alternant les signes en fonction des cofacteurs.
Le déterminant d'une matrice 2 × 2 est calculé en prenant la différence des produits de ses diagonales : | | | 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 | | | = 𝑎 𝑑 − 𝑏 𝑐 .
Définition : Carré d'une matrice
-à-d. 𝑎 = 𝑎 × 𝑎 ), le carré est obtenu en multipliant la matrice par elle-même.