un ensemble non vide est habité, et peut se formuler : un ensemble qui n'est pas ∅ possède au moins un élément. Affirmer son équivalence à un ensemble habité est non vide nécessite le tiers exclu et n'est donc pas valide en logique intuitionniste.
Notation On va noter P∗(N) l'ensemble des parties non vides de N. Toute partie non-vide de N admet un minimum. ∀P : P(N), si P est non vide alors ∃m : N,m ∈ P et ∀p : P,m ≤ p. On montre par récurrence sur n que si P ∩ [0..n] est non vide, alors P admet un élément plus petit que tous les autres.
Pour démontrer que l'intérieur d'un ensemble A est vide, on peut, pour tout x∈A x ∈ A , trouver une suite (xn) dans le complémentaire de A qui tend vers x (voir cet exercice). trouver une suite (xn) qui converge vers a et telle que (f(xn)) ( f ( x n ) ) ne converge pas.
Ainsi, des mathématiciens comme Frege, Russell ou Von Neuman ont construit l'ensemble des entiers naturels, et toute l'arithmétique qui leur est jointe, uniquement à partir de l'ensemble vide. Voici comment : 0 est identifié à l'ensemble vide. 1 est identifié à l'ensemble dont le seul élément est l'ensemble vide.
L'ensemble vide est inclus dans tout ensemble : pour tout ensemble B, ∅ ⊂ B (en effet, puisque ∅ n'a pas d'éléments, il n'est pas possible de trouver un élément de ∅ qui ne soit pas dans B). Pour dire que A est inclus dans B, on dit aussi que A est un sous-ensemble de B, ou encore que A est une partie de B.
- L'ensemble vide Ø est un ensemble indépendant cependant il génère {0} espace vectoriel de dimension 0.
Lorsqu'un ensemble est fini, c'est-à-dire si ses éléments peuvent être listés par une suite finie, son cardinal est la longueur de cette suite, autrement dit il s'agit du nombre d'éléments de l'ensemble. En particulier, le cardinal de l'ensemble vide est zéro.
Le symbole R désigne l'ensemble des nombres réels. Tous les nombres naturels, entiers, décimaux et rationnels sont des nombres réels.
L'ensemble des nombres entiers naturels est noté ℕ. Un nombre entier relatif est un nombre entier qui est positif ou négatif. L'ensemble des nombres entiers relatifs est noté ℤ. Un nombre décimal peut s'écrire avec un nombre fini de chiffres après la virgule.
L'ensemble vide est voisinage de chacun de ses points, puisqu'il n'en a pas. De manière générale, une assertion commençant par quelque chose du genre "∀x∈∅" est vraie; en quelque sorte, il n'y a rien à vérifier.
Un ensemble F est fermé si et seulement si toute limite (dans E) d'une suite généralisée à valeurs dans F appartient à F. L'espace E est dit séquentiel si cette caractérisation de ses fermés reste vraie en remplaçant « suite généralisée » par « suite ». Tout espace métrique est séquentiel.
Une partie X de E est ouverte si et seulement si pour tout élément x de X, il existe un réel δ > 0 tel que B(x, δ) ⊂ X. B) On montre que X est une réunion (quelconque) de parties ouvertes ou une intersection finie d'ouverts.
Pour tout r>0 la fonction f: x->r/2 est dans U, et d(f,0) = r/2 < r, ce qui est contradictoire. Remarque : Pour montrer que U n'est pas ouvert, on peut aussi montrer que le complémentaire de U n'est pas fermé, c'est à dire qu'il existe une suite d'éléments fn du complémentaire de U qui converge vers f appartenant à U.
Une partie d'un ensemble ordonné est bornée si elle admet à la fois un majorant et un minorant dans l'ensemble ordonné. En dehors du cas où la partie elle-même contient un majorant et un minorant, cette définition dépend donc a priori du reste de l'ensemble ordonné.
Soit f:E→R f : E → R une fonction définie sur un ensemble E et soit a∈E a ∈ E . On dit que f admet un maximum en a si, pour tout x∈E x ∈ E , f(x)≤f(a) f ( x ) ≤ f ( a ) .
Tout nombre réel a un seul opposé et tout nombre réel non nul a un seul inverse. Tout nombre réel est l'opposé de son opposé. Le nombre 0 est absorbant pour la multiplication : pour tout réel a , on a 0 × a = 0, donc 0 n'a pas d'inverse.
Les nombres naturels, représentés par N , regroupent tous les nombres entiers compris entre 0 inclusivement et l'infini positif. On utilise parfois l'appellation nombres entiers naturels pour désigner cet ensemble.
Un chiffre est tout d'abord un caractère utilisé pour représenter un nombre. En français, on utilise les chiffres arabes (0 à 9) et, dans certains contextes, les chiffres romains (I, V, X, L, C, D, M).
L'opposé de l'inverse de 3/4 est . 8.
Les différents types de nombres
Exemples : 0 ; 1 ; 2 ; 12 ; 33 ; 2008 sont des entiers naturels. L'ensemble des nombres entiers naturels se note N . Définition : Les entiers relatifs sont les nombres entiers positifs et négatifs.
L'ensemble Z vient de l'allemand zahlen qui signifie compter. Ainsi défini par Dedekind, il recouvre l'ensemble des nombres entiers relatifs (exemples : -3 -1 0 1 5). N est inclus dans Z.
Giuseppe Peano et Richard Dedekind ont axiomatisé l'arithmétique à la fin du XIX e siècle.
Définition. Un p-uplet est une séquence immutable, c'est-à-dire une suite indexée de valeurs (de n'importe quel type) que l'on ne peut pas modifier.
L'ensemble ayant pour éléments tous les sous-ensembles ou parties d'un ensemble E est noté de la façon suivante : P(E). Si Card(E) = n, alors : Card(P(E)) = 2n. Une partie d'un ensemble E différente de E et non vide est appelée une partie propre de l'ensemble E.