En mathématiques, les notions de borne supérieure et borne inférieure d'un ensemble de nombres réels interviennent en analyse, comme cas particulier de la définition générale suivante : la borne supérieure d'une partie d'un ensemble ordonné est le plus petit de ses majorants.
(Mathématiques) Plus grand minorant. Note : Pour un ensemble X de réels, l'infimum, s'il existe, est le plus grand réel inférieur ou égal à tous les réels de X. L'existence d'un infimum pour les parties bornées inférieurement est toujours vérifiée, et découle de la définition mathématique des nombres réels.
Si l'ensemble des majorants d'une partie A de R admet un plus petit élément M on dit que M est la borne supérieure de A et on note M = sup(A). Cette borne est alors unique. Si l'ensemble des minorants d'une partie A de R admet un plus grand élément m, on dit que m est la borne inférieure de A et on note m = inf(A).
Terme utilisé pour désigner un plus petit ou un plus grand objet d'un ensemble de nombres ou d'une figure géométrique. Une borne peut appartenir ou ne pas appartenir à l'ensemble concerné. Les bornes d'un intervalle sont les limites de cet intervalle.
Inf. Abréviation de borne inférieure.
Dans une économie de marché, les prix des biens et des services varient. Certains augmentent, d'autres diminuent. On parle d'inflation lorsque les prix augmentent globalement, et non uniquement les prix de quelques biens et services. Quand tel est le cas, avec le temps, chaque euro permet d'acheter moins de produits.
- max(A) est le plus grand élément de A, i.e. un élément de A tel que tous les autres soient plus petits. Il n'existe pas nécessairement mais s'il existe il est unique. - sup(A) est le (un) plus petit élément de E qui soit plus grand que tous les éléments de A.
On dit que la suite u est majorée lorsqu'il existe un réel M tel que pour tout entier naturel n, un ≤ M. Le nombre M est alors appelé un majorant de la suite u. On dit que la suite u est minorée lorsqu'il existe un réel m tel que pour tout entier naturel n, un ≥ m.
Pour comparer deux nombres décimaux on utilise les symboles > ou = . Le signe , signifie « est inférieur à » ou « est strictement inférieur à » ou « est plus petit que ». Le signe >, signifie « est supérieur à » ou « est strictement supérieur à » ou « est plus grand que ».
Définition : On dit qu'un réel est un majorant de si tout élément de est inférieur ou égal à . On dit que est majorée si admet un majorant (elle en admet alors une infinité). On définit de même un minorant, une partie minorée.
Re: Partie non vide
Après non vide ca veut simplement dire... qu'il n'est pas vide, cad qu'il contient au moins un élément.
Si F possède un plus grand élément (en particulier si F est une partie finie d'un ensemble E totalement ordonné comme ℝ), alors cet élément maximum est la borne supérieure de F. Dans ce cas, sup(F) appartient à F. Réciproquement, si sup(F) existe et appartient à F, alors sup(F) est le plus grand élément de F.
Une partie d'un ensemble ordonné est bornée si elle admet à la fois un majorant et un minorant dans l'ensemble ordonné. En dehors du cas où la partie elle-même contient un majorant et un minorant, cette définition dépend donc a priori du reste de l'ensemble ordonné.
Un intervalle est borné lorsque les valeurs qui l'encadrent sont des réels : [ a ; b ] [a\ ; b] [a ;b].
En arithmétique ordinaire, le nombre 0 n'a pas de signe, de sorte que −0, +0 et 0 sont identiques.
Le plus petit nombre entier n'existe pas. En effet, les nombres entiers sont les nombres entiers relatifs, qui incluent les nombres entiers négatifs, jusqu'à la limite de l'infini négatif. En revanche, le plus petit des nombres entiers naturels est 0, et le plus petit nombre entier naturel non nul est 1.
LE CHIFFRE 5
Le nombre 5 représente le souffle de vie et l'épanouissement. Vous êtes sans doute une personne très indépendante, mobile, libre et voyageuse. Un courant d'air léger et rafraîchissant qui charme par sa désinvolture et son côté insaisissable.
1. Diminuer l'importance de quelque chose, lui accorder une valeur moindre : Minorer un incident diplomatique. 2. Porter quelque chose à un chiffre inférieur : Minorer les prix de 10 %.
1. Augmenter de tant le prix, la valeur ou le montant de quelque chose : Majorer de 10 % les salaires. 2. Estimer quelque chose au-dessus de sa valeur véritable : Facture majorée de 10 %.
Définition : La suite (un) admet le réel pour limite si : Tout intervalle ]a ; b[ contenant , contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang. On dit alors que la suite est convergente.
Pour montrer l'inégalité sup(A) ≤ inf(B), commençons par montrer que sup(A) est un minorant de B. Il s'agit donc de montrer que, pour tout y ∈ B, sup(A) ≤ y. Soit y ∈ B quelconque. Comme on l'a vu quelques lignes plus haut, y est un majorant de A.
Re : le sup d'une série de fonction
la fonction x -> 1+x/n est croissante. La fonction x -> Log(x) est croissante elle aussi, leur composée l'est encore. Ta fonction Fn est donc croissante, sa borne supérieure est atteinte pour x=1.
Proposition Toute partie bornée non-vide de N admet un maximum. ∀P : P(N), si P est bornée et non-vide alors ∃m : N,m ∈ P et ∀p : P,m ≥ p. On montre par récurrence sur n que si P est contenu dans [0..n], alors P admet un maximum.
- L'inflation profite à ceux qui peuvent emprunter à des taux de faveur et, si possible, inférieurs au taux d'inflation : - La capacité d'emprunter est cumulative, et dépend déjà de la capacité antérieure d'emprunter. Ce qui confirme précisément le proverbe populaire bien connu : « On ne prête qu'aux riches ».
La hausse de l'inflation pourrait également entraîner dans son sillage une augmentation des taux d'intérêt qui pourrait à moyen terme représenter un frein pour l'investissement et la solvabilité des emprunteurs. Sur les marchés financiers, les taux d'intérêt ont d'ailleurs déjà commencé à augmenter.