Dans un repère orthonormé du plan, la distance entre deux points A et B de coordonnées respectives (xA;yA) et (xB;yB) est donnée par : AB=(xB−xA)2+(yB−yA)2 .
Soient A ( x A ; y A ) et B ( x B ; y B ) deux points dans un repère orthonormé. Alors la distance entre les points A et B est A B = ( x B − x A ) 2 + ( y B − y A ) 2 .
1.2 Calcul de la distance AB
La distance de A à B est : AB = √(xB − xA)2 + (yB − yA)2.
A B = ( x B − x A ) 2 + ( y B − y A ) 2 . C'est le théorème de Pythagore qui donne ce résultat.
Calculer une distance parcourue
Appliquez la relation d=v×t, avec la vitesse moyenne v en km/h et le temps t en heures.
Comme la vitesse est égale à la distance divisée par le temps, pour déterminer un temps, il suffit de diviser la distance parcourue par la vitesse. Par exemple, si John a roulé à la vitesse de 45 km par heure et parcouru 225 km en tout, il a roulé pendant 225/45 = 5 heures au total.
Propriété Dans un repère orthonormé du plan, la distance entre deux points A et B de coordonnées respectives (xA;yA) et (xB;yB) est donnée par : AB=(xB−xA)2+(yB−yA)2 .
A et B n'ont pas la même abscisse, l'équation de (AB) ets de la forme y = ax + b Le point A(-5 ; 4) est un point de la droite donc ses coordonnées vérifient l'équation de (AB) yA = axA + b 4 = -5a + b (1) De même pour le point B(0 ; 6) yB = axB + b 6 = 0a + b (2) Il faut résoudre le système : 4 = -5a + b (1) 6 = 0a + b ...
Si un triangle est rectangle, alors le milieu de l'hypoténuse est équidistant des trois sommets. En utilisant le théorème de Pythagore : Si un triangle est rectangle, alors le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des côtés de l'angle droit. Si ABC est un triangle rectangle en A, alors BC² = AB² + AC².
Calculer l'aire du triangle ABI. Aire (ABC) = (hauteur × base) ÷ 2 = (5 × 8) ÷ 2 = 20 cm². (AI) est la médiane relative au côté [BC] donc l'aire du triangle ABI est égal à la moitié de l'aire de ABC. Aire (ABI) = Aire (ABC) ÷ 2 = 20 ÷ 2 = 10 cm².
La norme de 𝐴𝐵 est la racine carrée de quatre au carré plus 10 au carré. Quatre au carré est 16 et 10 au carré est 100, donc la norme de 𝐴𝐵 est la racine carrée de 116.
Les coodonnées du vecteur AB sont (xB – xA, yB – yA).
La longueur d'un vecteur, notée v est un nombre réel positif ou nul. La direction d'un vecteur est déterminée par une demi-droite, appelée support du vecteur dont le sens est celui allant de l'origine de la demi-droite vers l'infini.
La longueur de l'hypoténuse sera égale à la distance, 𝑑 , entre les deux points. Sur la figure ci-dessus, la distance horizontale entre les points est ( 𝑥 − 𝑥 ) et la distance verticale est ( 𝑦 − 𝑦 ) . La valeur de ces distances doit toujours être positive pour que cette méthode fonctionne.
Si un rectangle a deux côtés consécutifs de même longueur alors c'est un carré. Si les diagonales d'un quadrilatère se coupent en leur milieu et sont de même longueur et sont perpendiculaires alors c'est un carré. Si un quadrilatère est à la fois un rectangle et un losange alors c'est un carré.
Si, dans un triangle, la longueur de la médiane issue du sommet opposé au plus grand côté vaut la moitié de la longueur de ce côté, alors le triangle est rectangle.
Théorème de Pythagore : Dans un triangle ABC rectangle en A, on a BC2=AB2+AC2. On peut réécrire cette égalité en AB2=BC2−AC2 pour déterminer la longueur AB ou en AC2=BC2−AB2 pour déterminer la longueur AC.
La norme d'un vecteur est sa « longueur ». Pour calculer la norme d'un vecteur en deux dimensions, nous utilisons le théorème de Pythagore. Étant donné le vecteur v → = ( v x v y ) , la norme de ce vecteur se calcule grâce à la formule ‖ v → ‖ = v x 2 + v y 2 .
Si un triangle est rectangle , alors le carré de la longueur de son hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés. Exemple 1 : Soit le triangle ABC rectangle en A ([BC] est donc l'hypoténuse), alors BC²=AC²+BA².
Une équation de droite se présente sous la forme : y = ax + b avec a le coefficient directeur et b l'ordonnée à l'origine. Ici b = 0, car la droite coupe l'axe des ordonnées au point 0.
Pour factoriser une somme, il faut repérer le facteur commun aux différents termes de la somme. A : le facteur commun est x ; si l'on développe x(x − 5), on retrouve bien x2 − 5x. B : le facteur commun est 2x ; si l'on développe 2x(x − 3 + y), on retrouve bien 2x2− 6x + 2xy.
Soit une fonction affine f : x ax + b représentée dans un repère par une droite d. Les coordonnées (x ; y) d'un point M appartenant à d vérifient y = ax + b. La droite (d) représentant la fonction f définie par f(x) = ax + b a pour coefficient directeur a et pour ordonnée à l'origine b.
A 100 km d'altitude
Alors, on peut se demander s'il existe une véritable frontière entre notre atmosphère et l'espace... Et bien non ! Mais en général, on dit que l'espace commence à environ 100 km d'altitude, car après cette limite, beaucoup de choses changent : la température, la pression, la résistance à l'air...
Théorème : Formule de la distance entre un point et une droite en trois dimensions. La distance perpendiculaire, 𝐷 , entre un point 𝑃 ( 𝑥 ; 𝑦 ; 𝑧 ) et une droite de vecteur directeur ⃑ 𝑑 est donnée par 𝐷 = ‖ ‖ 𝐴 𝑃 × ⃑ 𝑑 ‖ ‖ ‖ ‖ ⃑ 𝑑 ‖ ‖ , où 𝐴 est un point quelconque de la droite.
La distance entre un point P et une droite e du plan est la longueur du segment de droite qui est perpendiculaire à la droite e et qui joint le point P à cette droite.