La norme euclidienne associée `a un produit scalaire vérifie x = 0 ⇔ x = 0 et λx = |λ|x pour tout réel λ. Voici d'autres pro- priétés. |(x | y)|≤x y . L'égalité a lieu si et seulement si x et y sont colinéaires.
Produit scalaire et norme
Le carré scalaire de ⃗ u est égal à sa norme au carré : ⃗ 2 = ∣ ∣ u ⃗ ∣ ∣ 2 \vec u^2 =||\vec u||^2 u 2=∣∣u ∣∣2.
La norme du vecteur est donnée dans un repère orthonormé par la formule suivante : √(x² + y²) ou √(x² + y² + z²).
Le produit scalaire sert à différentes choses, notamment le calcul de l'angle entre deux vecteurs. Lorsque nous disposons des composantes des vecteurs, nous utiliserons la formule u → ⋅ v → = u x v x + u y v y + u z v z pour calculer le produit scalaire.
Le produit scalaire possède de multiples applications. En physique, il est, par exemple, utilisé pour modéliser le travail d'une force. En géométrie analytique il permet de déterminer le caractère perpendiculaire de deux droites ou d'une droite et d'un plan.
le produit scalaire de deux vecteurs est un nombre réel; les deux opérandes d'un produit scalaire sont des vecteurs; les opérandes de la multiplication d'un vecteur par un scalaire sont un vecteur et un nombre réel; le résultat de la multiplication d'un vecteur par un scalaire est un vecteur.
Deux vecteurs non nuls sont orthogonaux si, et seulement si, u ⋅v =0.
Soient u et v , deux vecteurs de coordonnées respectives (xy) et (x′y′). Le déterminant de u et v est le réel det(u ;v )=xy′−yx′. Propriété : Deux vecteurs sont colinéaires si, et seulement si, leur déterminant est nul. Le déterminant de u (−3 ;9) et v (1 ;−3) est det(u ;v )=(−3)×(−3)−9×1=0.
Soit deux vecteurs A et B, le cosinus de leur angle θ s'obtient en prenant leur produit scalaire divisé par le produit de leurs normes : . La valeur d'un cosinus, donc celle calculée ici pour cos θ, est comprise dans l'intervalle [-1,1].
Norme d'un vecteur
Étant donné le vecteur v → = ( v x v y ) , la norme de ce vecteur se calcule grâce à la formule ‖ v → ‖ = v x 2 + v y 2 .
La norme d'un vecteur est sa longueur et peut être calculée en adaptant le théorème de Pythagore en trois dimensions. Si ⃑ 𝐴 = ( 𝑥 , 𝑦 , 𝑧 ) , alors ‖ ‖ ⃑ 𝐴 ‖ ‖ = √ 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 .
Méthodologie de calcul de la norme
Dans un espace tridimensionnel, par exemple, la norme d'un vecteur représenté par (x, y, z) est √(x² + y² + z²). Cette méthode s'étend aux espaces de dimensions supérieures, bien que la visualisation devienne plus complexe.
Le produit scalaire des vecteurs AB et AC est égal à AB ⋅AC =∥AB ∥×∥AC ∥×cos(BAC )=2×3×cos(60∘)=3 car cos(60∘)=0,5.
Si l´angle (OA,OB) est inférieur à PI/2 le produit scalaire est positif, si cet angle est supérieur à PI/2 le produit scalaire est negatif et si cet angle est égal à PI/2 le produit scalaire est nul.
Le produit scalaire d'un vecteur avec lui-même est égal au carré de sa longueur ou norme : →v⊙→v=‖→v‖2. Le produit scalaire de deux vecteurs est commutatif : →u⊙→v=→v⊙→u. Il y a distributivité du produit scalaire par rapport à l'addition des vecteurs : →u⊙(→v+→w)=→u⊙→v+→u⊙→w.
On trouve les coordonnées de chaque vecteur. On regarde si les coordonnées des vecteurs sont proportionnelles. Si les coordonnées sont proportionnelles, alors les vecteurs sont colinéaires. Si les coordonnées ne sont pas proportionnelles, alors les vecteurs ne sont pas colinéaires.
Étymologiquement, colinéaire signifie sur une même ligne : en géométrie classique, deux vecteurs sont colinéaires si on peut en trouver deux représentants situés sur une même droite. sont parallèles. Cette équivalence explique l'importance que prend la colinéarité en géométrie affine.
les vecteurs ont la même direction ou bien l'un des deux vecteurs est le vecteur nul 0 ; les vecteurs u et v sont colinéaires si et seulement si il existe un nombre réel k tel que u → = k v → \overrightarrow{u}=k\overrightarrow{v} u =kv .
Definition. - par convention, le vecteur nul est orthogonal à tout vecteur. Les vecteurs et sont dits orthogonaux si les droites (AB) et (AC) sont perpendiculaires.
Deux vecteurs →u et →v de l'espace sont orthogonaux si et seulement si →u. →v=0. . Deux droites D et Δ de vecteurs directeurs respectifs →u et →v sont dites orthogonales lorsque →u et →v le sont.
Pour que deux vecteurs soient orthogonaux, leur produit scalaire doit être nul. Afin de trouver la solution, il suffit de trouver lequel de ces vecteurs ne donne pas un produit scalaire nul lorsqu'il est multiplié avec ( 2 ; − 3 ; 5 ) .
Si le produit scalaire de deux vecteurs est nul, on dit que ces vecteurs sont orthogonaux. Pour que deux vecteurs non nuls aient un produit scalaire nul, il faut que leurs droites d'application soient perpendiculaires (ainsi, le projeté orthogonal du deuxième sur le premier est un point, de longueur nulle).
Comme les vecteurs A I → \overrightarrow{AI} AI et B I → \overrightarrow{BI} BI sont orthogonaux le produit scalaire A I → ⋅ B I → \overrightarrow{AI} \cdot \overrightarrow{BI} AI⋅BI est nul ; pour la même raison le produit scalaire I B → ⋅ I C → \overrightarrow{IB} \cdot \overrightarrow{IC} IB⋅IC ...
Si les deux vecteurs ont le même sens, alors leur produit scalaire sera toujours un nombre POSITIF. Mais, si les vecteurs sont de sens opposés, alors leur produit scalaire sera NEGATIF. Si un des vecteurs est nul ( égal à 0) alors le produit scalaire des deux vecteurs est nul (égal à 0).