Une fonction f définie sur I est périodique de période T si et seulement si ∀x∈I, x+T∈I et f(x+T)=f(x).
Les fonctions cosinus et sinus sont périodiques de période T=2π . – Pour tout x∈ℝ : cos(x+2π)=cosx . – Pour tout x∈ℝ : sin(x+2π)=sin x . En effet; les nombres x et x+k 2π , k∈ℤ , correspondent au même point M du cercle trigonométrique.
Une fonction f(x) est périodique s'il existe un nombre positif P (la période) tel que f(x±P)=f(x) f ( x ± P ) = f ( x ) pour toutes les valeurs de x dans le domaine de la fonction.
La période
Dans la fonction sinus, on choisit généralement un cycle qui débute sur un point et se termine sur un autre point situés sur l'axe d'oscillation. Cela aide à tracer la fonction sinus et à trouver sa règle. La période (p) correspond à l'écart entre les 2 valeurs de x aux extrémités d'un cycle.
En mathématiques, une fonction périodique est une fonction qui lorsqu'elle est appliquée à une variable, reprend la même valeur si on ajoute à cette variable une certaine quantité fixe appelée période.
Remarque : On dit que la fonction cosinus est paire et que la fonction sinus est impaire. Définitions : Une fonction f est paire lorsque pour tout réel x de son ensemble de définition D, –x appartient à D et f (−x) = f (x).
Comment déterminer une période sur un graphique ? Il suffit de repérer le motif élémentaire. Il s'agit du motif qui se répète de manière régulière. On peut ensuite déterminer sa durée en tenant compte de l'échelle de représentation.
En mathématiques, et plus précisément en théorie des nombres, une période est un nombre complexe qui peut s'exprimer comme l'intégrale d'une fonction algébrique sur un domaine algébrique. La somme et le produit de deux périodes sont encore des périodes, donc les périodes forment un anneau commutatif unitaire.
Definition 1 On appelle période d'une fonction f : R → C tout nombre réel T tel que ∀t ∈ R, f(t + T) = f(t). On dit que f est périodique si elle admet une période non nulle, et plus précisément qu'elle est T- périodique si T est une période strictement positive.
Les trois fonctions trigonométriques les plus utilisées sont le sinus (noté sin), le cosinus (cos) et la tangente (tan, tang ou tg). Les relations entre les différentes fonctions trigonométriques constituent les identités trigonométriques.
Une fonction est paire si et seulement si sa courbe représentative est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées. Une fonction est impaire si et seulement si sa courbe représentative est symétrique par rapport à l'origine du repère.
Moitié de la distance entre le maximum et le minimum d'une fonction périodique. Si la fonction a plusieurs maxima locaux ou plusieurs minima locaux, l'amplitude est la moitié de la distance entre le plus grand maximum et le plus petit minimum.
Périodicité et courbe représentative.
Intéressons-nous au tracé d'une de ces fonctions périodiques. Pour tracer la représentation graphique d'une fonction T-périodique, il suffit donc de construire la courbe sur un intervalle de longueur T puis de translater autant de fois que nécessaire.
De manière plus rigoureuse, on dit qu'une fonction définie sur A sous-ensemble de ℂ, par exemple, est une fonction nulle (ou est la fonction nulle de A) si c'est la restriction à A de la fonction nulle précédente (autrement dit, si ∀ x ∈ A, ƒ(x) = 0 et si ƒ n'est pas définie en dehors de A).
On dit qu'une fonction f est croissante ssi pour x et y dans le DD de f , si on a x ≤ y, on a aussi f (x) ≤ f (y). En langage plus formel, ça donne ∀x,y ∈ DD(f ),x ≤ y ⇒ f (x) ≤ f (y).
Grandeur liée à un phénomène périodique, qui mesure le nombre de fois où ce phénomène se reproduit dans un intervalle donné. (Si le phénomène évolue uniquement dans le temps, on parle de fréquence temporelle, mesurée en hertz, l'intervalle de temps de référence étant la seconde.
La période T d'une onde est le plus petit intervalle de temps au bout duquel le phénomène se reproduit à l'identique.
Elle est mesurée en hertz (Hz), une unité de mesure internationale selon laquelle 1 hertz est égal à un cycle par seconde.
On définit le cosinus comme étant le rapport entre le côté adjacent à l'angle par rapport à l'hypoténuse. Le sinus est le rapport entre le côté opposé à l'angle par rapport à l'hypoténuse.
Ce 2kπ vient du fait que l'on peut faire plusieurs tours (2kπ) dans un sens ou dans l'autre on aura toujours le même point sur le cercle.
Points remarquables : sin(0)=0. On le lit sur le cercle. Si l'angle est nul, M=I et donc le sinus, en ordonnée, est égal à zéro.