Le module du conjugué d'un complexe est égal au module du complexe : |ˉz|=|z|. Le module d'un produit est égal au produit des modules : |z⋅z′|=|z|⋅|z′|.
Calcul avec des nombres complexes
Pour additionner ou soustraire deux nombres complexes, on additionne ou soustrait séparément leurs parties réelles et imaginaires. Exemple : (2+3i)+(4+5i)=6+8i.
Les exemples les plus simples ne nécessitent aucune opération : le conjugué de 3 est 3, le conjugué de i est −i … Soit deux nombres complexes z et z′ et un entier n. n . Par exemple, (3+2i)(3−2i) ( 3 + 2 i ) ( 3 − 2 i ) = 9+6i−6i+4 9 + 6 i − 6 i + 4 = 9+4 = 13.
Le module d'un nombre complexe 𝑧 = 𝑎 + 𝑏 𝑖 est défini par | 𝑧 | = √ 𝑎 + 𝑏 . . Si 𝑧 est un nombre réel, son module est simplement sa valeur absolue. Pour cette raison, on appelle souvent le module, la valeur absolue d'un nombre complexe.
La définition du conjugué de 𝑧 = 𝑎 + 𝑏 𝑖 est 𝑧 = 𝑎 − 𝑏 𝑖 . Si 𝑧 est un nombre réel pur, on sait que 𝑏 = 0 . Ainsi, on conclut que si 𝑧 est un nombre réel, 𝑧 = 𝑧 .
C'est la même recette que z = x – μ/σ, mais là encore, on utilise en fait x̄ (la moyenne de l'exemple) plutôt que μ (la moyenne de la population) et s (l'écart type de l'exemple) plutôt que σ (l'écart type de la population). Néanmoins, les moyens pour l'expliquer sont en fait équivalents.
Le module d'un réel est sa valeur absolue. Le module de 1 + i est √2.
Méthode 1: Effectuer la division euclidienne et récupérer la valeur du reste. La valeur du modulo est la valeur du reste, donc 123≡3(mod4) 123 ≡ 3 ( mod 4 ) . Il est possible de définir des modulos négatifs (plus rares), dans ce cas 123=31×4−1 123 = 31 × 4 − 1 , donc 123≡−1(mod4) 123 ≡ − 1 ( mod 4 ) .
L'argument d'un nombre complexe 𝑧 = 𝑎 + 𝑏 𝑖 peut être obtenu en utilisant la réciproque de la fonction tangente dans chaque quadrant : Si l'image de 𝑧 se situe dans le premier ou le quatrième quadrant, a r g a r c t a n ( 𝑧 ) = 𝑏 𝑎 .
La quantité conjuguée est l'expression qui, en multipliant le numérateur et le dénominateur pour garder l'égalité permet d'écrire le dénominateur d'une fraction sans radical. Il s'agit de faire apparaître l'identité remarquable de la forme $(a – b)(a + b)$ qui est égale à $a^2 – b^2$.
Pour un nombre complexe de la forme 𝑎 plus 𝑏𝑖, son conjugué noté 𝑧 barre ou 𝑧 étoile est 𝑎 moins 𝑏𝑖. En termes simples, le conjugué d'un nombre complexe est trouvé en changeant le signe de la partie imaginaire du nombre.
Dans le cas général, on peut écrire A=λD où λ est un nombre complexe de module 1, et D est une matrice vérifiant ˉD=D−1 telle que −1 n'est pas une valeur propre de D, et appliquer à D la méthode précédente.
Égalité de deux nombres complexes : z1 = z2 si et seulement si a1 = a2 et b1 = b2. Addition de deux nombres complexes : z1 + z2 = (a1 + a2)+(b1 + b2)i ∈ C. Soustraction de deux nombres complexes : z1 − z2 = (a1 − a2)+(b1 − b2)i ∈ C. Multiplication d'un nombre complexe par un scalaire : kz1 = ka1 + kb1i ∈ C.
Le module d'un nombre complexe z=a+ib est : ∣z∣=a2+b2 . Un argument d'un nombre complexe non nul z est une mesure en radian de l'angle orienté θ tel que cos(θ)=∣z∣Re(z) et sin(θ)=∣z∣Im(z). Il est déterminé, en fonction des valeurs du cosinus et du sinus, grâce au tableau suivant.
On désigne par ℂ l'ensemble des nombres complexes et par « i » un élément de ℂ tel que i 2 = −1. Tout nombre complexe z s'écrit de manière unique : z = a + ib avec a ∈ ℝ et b ∈ ℝ.
la division entière, notée ÷ ou DIV : n DIV p donne la partie entière du quotient de la division entière de n par p. le modulo, (MOD) : n MOD p donne le reste de la division entière de n par p.
Le modulo est un peu le complément de la division entière : au lieu de donner le quotient, il renvoie le reste d'une division euclidienne. Par exemple, le modulo de 15 par 6 est 3, car 15 = 2 × 6 + 3. Notez que le symbole % doit être doublé afin de pouvoir être utilisé littéralement.
Par exemple 3 × 12 donne 10 modulo 26, car 3 × 12 = 36 = 1 × 26 + 10 ≡ 10 (mod 26).
L'ensemble 𝕌 est donc un groupe pour la multiplication des nombres complexes. Les nombres complexes 1, –1, i et –i appartiennent au cercle unité. Le cercle unité est le plus grand sous-groupe borné de ℂ*. Autrement dit, tout sous-groupe borné de ℂ* est inclus dans le cercle unité 𝕌.
Définition : Soit un nombre complexe z = a + ib. On appelle module de z, le nombre réel positif, noté z , égal à a2 + b2 . M est un point d'affixe z. Alors le module de z est égal à la distance OM.
La fonction exponentielle, de ℝ sur ℝ*+, est la bijection réciproque de la fonction logarithme népérien : pour tous réels y > 0 et x, ln(ex) = x, e = y et ex = y ⇔ x = ln(y). La fonction exponentielle transforme les sommes en produits, c'est-à-dire que pour tous réels x et y, ex + y = exey.
N = A – Z correspond au nombre de neutrons.
Pour simuler un édifice électronique à un électron, on calcule une charge nucléaire effective perçue par chaque électron : Z* = Z - σ, où Z est la charge nucléaire réelle et σ représente l'effet d'écran produit par les électrons plus proches ou aussi proches du noyau.