On divise le plus petit des deux nombres de la division précédente par le reste de cette division. --> Le dernier reste non nul est 51 donc PGCD (357 ; 561) = 51. Remarque: Pour les grands nombres (supérieurs à 100 par exemple), l'algorithme d'Euclide est la méthode la plus rapide en général.
On effectue la soustraction du plus grand par le plus petit, puis on remplace le plus grand par la différence, et on recommence jusqu'à ce que la différence soit nulle. Le PGCD est, alors, le dernier résultat non nul.
Les diviseurs communs à 210 et 350 sont : 1, 2, 5, 7, 35 et 70. d. Le PGCD de 210 et 350 est 70.
36 = 12 × 3 et 24 = 12 × 2. Donc 12 est un diviseur commun à 36 et à 24. Définition : Si a et b désignent deux nombres entiers, on note PGCD (a ; b) le plus grand des diviseurs positifs à a et b.
72 = 24*3 + 0 Le PGCD de 72 et 24 est 24.
Multiple commun
Soient a, b et m trois entiers, a et b étant non nuls. Le nombre m est un multiple commun à a et à b s'il est divisible par a et par b. On recherche des multiples communs à 4 et 14. Les premiers multiples de 4 sont : 0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, etc.
Le PGCD est le produit des facteurs communs aux deux nombres (ceux en rouge) donc 2 x 2 x 3 = 12. Le PPCM est le produit du PGCD par le reste des facteurs non communs (en noir) donc 12 x 3 x 7 = 252. 2) Nombres premiers entre eux : Ce sont des nombres qui ont un et un seul diviseur commun : 1.
60 = 24 × 2 + 12 et 24 = 2 × 12, donc 12 est le pgcd de 60 et 24.
4) Par conséquent, le PGCD de 168 et 86 est 2.
D'après la première partie, 18 est le plus grand commun diviseur de 90 et 126 donc elle pourra réaliser au maximum 18 bouquets.
On peut commencer par calculer le pgcd de 72 et 132. On trouve : pgcd(72, 132) = 12. Donc: ppcm(72, 132) = (72 * 132) / 12 = 792.
2) 756 441 n'est donc pas irréductible. On calcule le PGCD de 756 et 441 (ce sera un multiple de 3) ; il s'agit de 63.
Les multiples de 4 sont tous les nombres présents dans la table de 4 : 0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, 52 … sont des multiples de 4. Un nombre est un multiple de 4, lorsque les deux derniers chiffres de son écriture forment un nombre qui est multiple de 4.
Le plus petit multiple commun de 3,4,5 3 , 4 , 5 est le résultat de la multiplication de tous les facteurs premiers le plus grand nombre de fois qu'ils apparaissent dans un nombre ou l'autre. Multipliez 2⋅2⋅3⋅5 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 5 . Multipliez 2 2 par 2 2 .
Cherchons le PPCM de 12 et 9 : 12 = 4 x 3 et 9 = 3 x 3 donc PPCM(12 ; 9) = 4 x 32 = 36. Les multiples communs de 12 et de 9 sont donc les multiples de 36. Le nombre d'élèves est donc de la forme 36k + 1, avec k entier.
PPCM (504 ; 492) = 20 664.
Un tel entier existe bien, et il en existe un seul vérifiant ces trois propriétés qui est le PGCD au sens de la définition précédente quand (a,b) ≠ (0,0). Avec cette définition PGCD(0,0)=0.
Exemple Les diviseurs de 48 sont : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 8 ; 12 ; 16 ; 24 ; 48 . Les diviseurs de 72 sont : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 8 ; 9 ;12 ; 18 ; 24 ; 36 ; 72. Les diviseurs communs à 48 et 72 sont : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 8 ; 9 ; 12 ; 24 . Le PGCD de 48 et 72 est donc : 24 .
Le plus grand de ces diviseurs est 18. On note : PGCD(72, 54) = 18.
PGCD (84 ; 270) = 6. On dit que deux nombres sont premiers entre eux lorsqu'ils n'ont que 1 comme diviseur commun.
utilise le pgcd quand on s'occupe des diviseurs communs à ces nombres et qu'on est amené à chercher le plus grand de ces diviseurs. Le PGCD de différents nombres est un diviseur de chacun des nombres et est donc toujours inférieur ou égal à chacun des nombres.