Soit u et v deux vecteurs de coordonnées u (xy) et v (x′y′). Alors u ⋅v =xx′+yy′. Exemple : Soit u et v deux vecteurs de coordonnées u (20,5) et v (3−4). Alors u ⋅v =2×3+0,5×(−4)=6−2=4.
Dans un repère orthonormé, le produit scalaire de deux vecteurs est égal à la somme des produits de leurs composantes correspondantes. →u⊙→v=uxvx+uyvy. →u⊙→v=uxvx+uyvy+uzvz.
Voici comment se calcule un produit scalaire. Si le vecteur 𝐮 a pour coordonnées 𝑢 un et 𝑢 deux et le vecteur 𝐯 a pour coordonnées 𝑣 un et 𝑣 deux, alors le produit scalaire de 𝐮 par 𝐯 est égal à 𝑢 un multiplié par 𝑣 un plus 𝑢 deux multiplié par 𝑣 deux.
Pour calculer les coordonnées de la somme de deux vecteurs, on additionne les coordonnées de chacun des vecteurs. Pour calculer les coordonnées de la différence de deux vecteurs, on soustrait les coordonnées de chacun des vecteurs.
Le produit scalaire est très important en mathématiques, car il caractérise l'orthogonalité : les droites (AB) et (CD) sont orthogonales si, et seulement si, −−→AB⋅−−→CD=0. A B → ⋅ C D → = 0. En outre, les calculs de longueur sont aussi reliés au produit scalaire, par la relation AB=√−−→AB⋅−−→AB.
Démonstration Le produit scalaire ⟨ x , x ⟩ = ∑ i =1 n x i 2 est une somme de carrés tous positifs. Définition Pour tout x ∈ R n , on définit sa norme ‖ x ‖ = √⟨ x , x ⟩. Propriété Pour tout x ∈ R n , on a ‖ x ‖ ≥ 0 avec égalité si et seulement si x = 0.
Si on a une fonction et qu'on cherche les coordonnées d'un point de sa courbe représentative : on choisit une valeur de x et on calcule y = f(x) en remplaçant x dans l'expression f(x) donnée. On obtient ainsi les coordonnées ( x ; y = f(x) ) d'un point de la représentation graphique de la fonction f.
x(AB*)=x(B)-x(A) c'est à dire l'abscisse du point B moins l'abscisse du point A. y(AB*)=y(B)-y(A) c'est à dire l'ordonnée du point B moins l'ordonnée du point A. Remarque : Les coordonnées du vecteur AB* représentent le chemin horizontal et vertical qui permet d'aller du point A au point B.
coordonnées d'un point
Dans un repère du plan, on a besoin de deux nombres pour indiquer la position d'un point : ce sont ses coordonnées. La première coordonnée, l' abscisse, se lit sur l'axe horizontal (l'axe des abscisses) ; la seconde, l' ordonnée, se lit sur l'axe vertical (l'axe des ordonnées).
Comment savoir si deux vecteurs sont orthogonaux ? Pour vérifier que deux vecteurs sont orthogonaux cela revient à calculer le produit scalaire entre les deux :- s'il est nul, ils sont orthogonaux (perpendiculaires),- s'il est différent de 0 ils ne sont pas orthogonaux.
Produit scalaire et vecteurs colinéaires
Si ⃗ AB et ⃗ CD sont deux vecteurs colinéaires non nuls, alors : 1er cas, vecteurs de même sens : ⃗ ⋅ C D ⃗ = A B × C D \vec {AB}\cdot \vec {CD}=AB\times CD AB ⋅CD =AB×CD.
Dans un espace vectoriel, la donnée d'un produit scalaire induit les notions d'orthogonalité, et de norme. un espace vectoriel muni d'un produit scalaire. sont orthogonaux si leur produit scalaire est nul.
Lors de la multiplication d'un vecteur par un scalaire, la norme du vecteur résultant sera égale à la norme du vecteur de départ multipliée par k en valeur absolue. Ainsi, si ∣k∣<1→ ∣ k ∣< 1 → norme du vecteur résultant sera plus petite. si ∣k∣=1→ ∣ k ∣= 1 → norme du vecteur résultant sera la même.
Le produit vectoriel est utilisé dans de nombreux domaines de la physique. Il peut notamment être utile pour calculer le couple sur un objet. Prenons l'exemple d'une roue de voiture qui peut tourner librement autour de son axe. Une force ⃑ 𝐹 est appliquée à la roue en un point situé sur le bord de la roue.
Un scalaire est une quantité physique qui n'est spécifié que par sa grandeur. On peut l'exprimer avec un nombre, suivi ou non d'une unité (1 kg, 30 sec, 3 °C, ...).
On appelle produit scalaire de u et v le réel, noté u ⋅v , défini par : u ⋅v =∥u ∥×∥v ∣×cos(u ,v ).
On peut trouver la première coordonnée du vecteur en calculant la différence entre les abscisses 𝑥 de l'extrémité et de l'origine ; la première coordonnée (ou de manière équivalente, la coordonnée en 𝑥 ) du vecteur ⃑ 𝑣 est − 7 − ( − 1 ) = − 6 .
Calculer la norme d'un vecteur du plan ou de l'espace, défini respectivement par les coordonnées (x,y) ou (x, y, z). La norme du vecteur est donnée dans un repère orthonormé par la formule suivante : √(x² + y²) ou √(x² + y² + z²). * Pour calculer la norme d'un vecteur du plan, laissez la case z vide.
Dans l'équation y=mx+b, y = m x + b , remplacer le paramètre m par la pente déterminée à l'étape 1. Dans cette même équation, remplacer x et y par les coordonnées (x,y) d'un des deux points donnés (au choix). Isoler le paramètre b afin de trouver la valeur de l'ordonnée à l'origine.
Dans un repère orthonormé du plan, la distance entre deux points A et B de coordonnées respectives (xA;yA) et (xB;yB) est donnée par : AB=(xB−xA)2+(yB−yA)2 . On traite le cas où xB>xA et yB>yA.
Pour trouver son abscisse, on trace une parallèle à l'axe des ordonnées ; on lit alors l'abscisse du point à l' intersection avec l'axe horizontal. Pour trouver son ordonnée, on trace une parallèle à l'axe des abscisses ; on lit alors l'ordonnée du point à l' intersection avec l'axe vertical.
Pense à: L(E,F;G) isométrique à L(E,L(F,G)). De sorte que Cauchy-Schwarz dit exactement que le produit scalaire est continu E x E --> lK.
Le produit scalaire de deux vecteurs est un nombre réel, qui peut être positif, négatif ou nul. sont bien orthogonaux. , on a . des vecteurs et a un nombre réel.
Le produit scalaire peut être calculé entre des vecteurs à 2 ou 3 composantes (voire plus, même si c'est plus difficile à représenter). En revanche le vectoriel ne peut être calculé qu'avec des vecteurs à trois composantes (espace à 3 dimensions).