L'opposé du nombre complexe a+bi est le nombre complexe −a−bi. L'inverse du nombre complexe a+bi est le nombre complexe aa2+b2−ba2+b2i.
Calcul avec des nombres complexes
Pour additionner ou soustraire deux nombres complexes, on additionne ou soustrait séparément leurs parties réelles et imaginaires. Exemple : (2+3i)+(4+5i)=6+8i.
Par exemple : l'opposé de 7 est égal à –7 car 7 + (–7) = 0.
Une astuce assez courante consiste à multiplier numérateur et dénominateur par a − i b : 1 z = ( a − i b ) ( a + i b ) ( a − i b ) . Or ( a + i b ) ( a − i b ) = a 2 − i 2 b 2 = a 2 + b 2 ce qui donne le résultat.
Pour obtenir l'opposé d'un nombre, il suffit donc de changer le signe de ce dernier. Par exemple l'opposé du nombre 3 est égal à -3. Inversement, l'opposé de -3 est égal à 3.
Dire que deux nombres relatifs sont opposés signifie : qu'ils ont des signes contraires ; qu'ils ont la même distance à zéro ; et que leur somme est égale à zéro.
Le côté opposé à un angle est celui qui est en face de cet angle. Celui des deux côtés d'un angle aigu qui est le côté adjacent est celui qui n'est pas l'hypoténuse.
On note z′=z+iz−i. On appelle X et Y respectivement la partie réelle et imaginaire de z′. Déterminer X et Y en fonction de x et y. On note Z=¯z3−¯z où z est un nombre complexe de forme algébrique z=x+iy où x et y sont des nombres réels tels que (x ; y)≠(3 ; 0).
Tout élément z de s'écrit de manière unique : z = a + ib (a et b réels), donc si z = a + ib et z' = a' + ib', z = z' ⇔ a = a' et b = b'. a + ib (a et b réels) s'appelle la forme algébrique du nombre complexe z.
L'opposé de "-13" (négatif) est "13" (positif). Propriété: La somme de 2 nombres relatifs opposés est toujours égale à 0.
Nombres opposés
Pour déterminer l'opposé d'un nombre positif, on ajoute un signe "-" devant. L'opposé de 12 est (-12). Pour déterminer l'opposé d'un nombre négatif, on retire le signe "-".
des entiers relatifs, seuls 1 et –1 ont un inverse : eux-mêmes respectivement.
L'argument d'un nombre complexe 𝑧 = 𝑎 + 𝑏 𝑖 peut être obtenu en utilisant la réciproque de la fonction tangente dans chaque quadrant : Si l'image de 𝑧 se situe dans le premier ou le quatrième quadrant, a r g a r c t a n ( 𝑧 ) = 𝑏 𝑎 .
L'hypothèse de Riemann, un problème irrésolu
Ce problème est considéré par de nombreux mathématiciens comme l'un des plus difficiles de tous les temps. Et en effet, l'hypothèse de Riemann n'a jamais été résolue !
Égalité de deux nombres complexes : z1 = z2 si et seulement si a1 = a2 et b1 = b2. Addition de deux nombres complexes : z1 + z2 = (a1 + a2)+(b1 + b2)i ∈ C. Soustraction de deux nombres complexes : z1 − z2 = (a1 − a2)+(b1 − b2)i ∈ C. Multiplication d'un nombre complexe par un scalaire : kz1 = ka1 + kb1i ∈ C.
Le seul nombre dont le module est nul est le nombre nul lui-même : |z|=0⇔z=0. Le module du conjugué d'un complexe est égal au module du complexe : |ˉz|=|z|. Le module d'un produit est égal au produit des modules : |z⋅z′|=|z|⋅|z′|.
Théorème – Définition : Tout nombre complexe non nul z s'écrit sous la forme suivante : z = r (cos (θ) + i sin (θ)) avec r = |z| et θ = arg (z) [2π] Cette forme est appelée forme trigonométrique du complexe z.
Un nombre complexe se décompose en deux parties : une partie réelle, c'est-à-dire un nombre réel ; une partie imaginaire, c'est-à-dire un nombre imaginaire.
Un nombre complexe z est dit imaginaire pur ou totalement imaginaire si sa partie réelle est nulle, dans ce cas il s'écrit sous la forme z =ib. Un nombre complexe dont la partie imaginaire est nulle est dit réel. Le nombre réel 0 est le seul qui soit à la fois réel et imaginaire pur.
Le i est définit en mathématiques comme un nombre complexe dont l'assimilation est simple, mais requiert des facultés d'abstraction. En effet, on s'explique : En maths, certaines équations du second degré n'ont pas de solution réelle car il n'existe pas de nombre réel dont le carré est négatif.
Par exemple, si on connaît la mesure d'un angle 𝜃 et la longueur de son côté adjacent A, et que l'on souhaite calculer la longueur du côté opposé O, on utilise la formule trigonométrique t a n O A 𝜃 = pour obtenir O A t a n = 𝜃 .
Pour trouver rapidement l'opposé d'un nombre, on change le signe. Le produit de deux inverses est 1 (l'élément neutre de la multiplication). L'inverse de -1/8 est -8 car -1/8 × -8 = 1. L'inverse de 4/9 est 9/4 car 4/9 × 9/4 = 1.