Dans ce cas, on pose g=f∘f g = f ∘ f , qui est croissante sur I , puis vn=u2n v n = u 2 n et wn=u2n+1 w n = u 2 n + 1 . Alors (vn) et (wn) vérifient la relation de récurrence vn+1=g(vn) v n + 1 = g ( v n ) et wn+1=g(wn) w n + 1 = g ( w n ) , avec g croissante sur l'intervalle I .
la relation de récurrence : { x1 = 1, xn = 2xn-1 + 1, si n > 1 ce qui donne bien xn = 2n - 1. En effet, cette formule est vraie pour n = 1 et on suppose que xn-1 = 2n-1 - 1, alors xn = 2xn-1 + 1 = 2(2n-1 - 1)+1=2 × 2n-1 - 2+1=2n - 1.
Une suite est dite récurrente quand le terme un+1 est donné sous la forme un+1 = f(un), dans ce cas on peut calculer tous les terme sde la suite `a partir du moment o`u on connait u0; par exemple si on suppose que u0 = 0 et que un+1 = un + 1 (dans ce cas f(x) = x + 1) alors un = n pour tout n.
Comment faire un raisonnement par récurrence ? Pour faire un raisonnement par récurrence, il faut d'abord vérifier que la proposition à démontrer est vraie pour le cas initial. Ensuite, il faut démontrer que si la proposition est vraie pour un certain rang, alors elle est vraie pour le rang suivant.
Suites arithmétiques
Il existe une formule pour calculer la valeur de n'importe quel terme d'une suite arithmétique, à condition de connaître la raison et le premier terme de la suite. La formule à utiliser est : u n = u 0 + n r où est le premier terme de la suite arithmétique et sa raison.
∑ [terme général d'une suite arithmétique] = [nombre de termes] × [premier terme] + [dernier terme] 2 .
On peut exprimer un en fonction de n. Par exemple, soit (un)n∈ la suite définie par, pour tout entier naturel n : un = n2. On a : u0 = 0 ; u1 = 1 ; u2 = 4 ; u3 = 9... On peut aussi calculer, par exemple : un+1 = (n + 1)2 = n2 + 2n+ 1 qu'il ne faut pas confondre avec un + 1 = n2 + 1.
La démonstration par récurrence sert lorsqu'on veut démontrer qu'une propriété, dépendant de n, est vraie pour toutes les valeurs de n. On appelle dans ce cas 乡n la propriété en question. On est ainsi amené à montrer que la propriété 乡n est vraie pour toutes les valeurs de n.
Une suite est définie par une formule explicite lorsque u n u_n un s'exprime directement en fonction de n. Dans ce cas, on peut calculer chaque terme à partir de son indice.
Si deux suites (un) et (vn) sont équivalentes, alors elles ont le même signe à partir d'un certain rang.
Pour montrer qu'une suite est géométrique, il est nécessaire de prouver que le quotient u n + 1 u n est constant pour tout nombre entier .
Le raisonnement par récurrence est une forme de raisonement mathématique dont l'objet est de démontrer une propriété de tous les entiers naturels, ou plus généralement d'une infinité d'entiers naturels.
→ U10 = U1 + 9 x 5
Plus généralement, exprimer Un en fonction de U1 et n.
Pour déterminer la raison, nous pouvons calculer la différence entre deux termes consécutifs. Par exemple, la différence entre les deux premiers termes est : 1 9 − 1 2 = 7 . Ceci nous indique que la raison de cette suite arithmétique est égale à 7.
Une relation de récurrence est une équation qui exprime chaque élément de la suite comme une fonction des éléments précédents.
Une suite implicite (xn) est une suite définie par une équation En qui dépend de n, souvent de la forme xn est l'unique solution de l'équation fn(x)=0. Comme l'indique son nom, une suite implicite n'est pas explicite.
u p + ⋯ + u q = ( q − p + 1 ) × ( u p + u q ) 2 . On retient souvent cette formule sous la forme : up+⋯+uq=(nb de termes)×(premier terme+dernier terme)2. u p + ⋯ + u q = ( nb de termes ) × ( premier terme + dernier terme ) 2 .
Si la propriété P(n) au rang n dépend des propriétés aux rangs n − 1 et n − 2, on procède à une récurrence double.
On trouve dans le Traité du triangle arithmétique de Blaise Pascal, écrit en 1654 mais publié en 1665, ce qui est généralement considéré comme la première utilisation tout à fait explicite du raisonnement par récurrence.
La récurrence forte, elle, va permettre de démontrer des propriétés dont la véracité à un rang donné dépend de la véracité à tous les rangs précédents. Formellement, la différence entre la démonstration par récurrence classique et la démonstration par récurrence forte réside exclusivement dans l'étape d'hérédité.
En mathématiques, une suite arithmético-géométrique est une suite satisfaisant une relation de récurrence affine, généralisant ainsi les définitions des suites arithmétiques et géométriques.
La raison d'une suite arithmétique
Une suite arithmétique est une suite où chacun des termes est égal à la somme du terme précédent et d'un nombre fixe. Ce nombre fixe s'appelle la raison de la suite.
Un = Up + (n-p)×r (où Up est le terme initial). Cas particulier si U0 est le terme initial, alors Un=U0+nr. Toute suite arithmétique est caractérisée par sa raison r et son premier terme.
Le symbole Σ (sigma) s'utilise pour désigner de manière générale la somme de plusieurs termes. Ce symbole est généralement accompagné d'un indice que l'on fait varier de façon à englober tous les termes qui doivent être considérés dans la somme.