La valeur absolue d'un nombre réel correspond à la distance qui sépare ce nombre de l'
La valeur absolue d'un nombre permet de considérer ce nombre sans tenir compte de son signe. Autrement dit, si un nombre x est positif, alors la valeur absolue de x est x, mais si x est négatif, alors la valeur absolue de x est son opposé, soit −x. − x .
Pour démontrer une inégalité, on peut s'appuyer sur une des inégalités déjà connues et appliquer des opérations qui conservent ou renversent l'inégalité. Pour tout x ∈ R, −1 ≤ sin( x ) ≤ 1 et −1 ≤ cos( x ) ≤ 1. Pour tout x ∈ R, e x > 0.
Afin de résoudre l'inéquation, il faut déterminer le signe du trinôme du second degré. On calcule le discriminant : Si \Delta \gt 0 alors le polynôme est du signe de a sauf entre les racines. Si \Delta = 0 alors le polynôme est du signe de a sur \mathbb{R} et s'annule en x_0= -\dfrac{b}{2a}.
Par exemple, la valeur absolue de –4 est 4, et celle de +4 est 4. La valeur absolue se note par des barres verticales : ainsi, on écrit : |–4| = |+4| = 4.
La valeur absolue d'un nombre réel correspond à la distance qui sépare ce nombre de l'origine sur une droite numérique. Ainsi, la distance entre 0 et –10 est la même qu'entre 0 et 10. La valeur absolue de x et de –x est x et on peut écrire : | –x | = | x | = x.
Définition On appelle valeur absolue d'un nombre réel x la distance entre x et 0 . On la note |x|. Soient a et b deux nombres réels. On appelle distance entre a et b le nombre |a-b|.
Pour résoudre des inégalités avec des valeurs absolues, utilisez une droite numérique pour voir à quelle distance la valeur absolue est de zéro . Divisé en deux cas : quand il est positif ou négatif. Résolvez chaque cas avec l'algèbre. La réponse est les deux cas ensemble, par intervalles ou par mots.
Si deux équations sont présentées et que les deux doivent être vraies, ce serait "et" . Si deux équations sont présentées et que l’une ou l’autre peut être vraie, c’est « ou ». Cela dépend de ce que vous essayez de résoudre.
Inégalités en valeur absolue avec un symbole >
Nous pouvons écrire l’ensemble de solutions résultant sous la forme {x |x<-4 or x>-4} . Encore une fois, il y a deux cas à considérer : un où l'expression à l'intérieur du symbole de valeur absolue est positive et un autre où elle est négative. Pour tout nombre réel a et b, si |a|>b , alors a>b et a<-b .
Ainsi, x doit être égal ou inférieur à 2 pour que - (3x – 12) soit supérieur ou égal à 6. Prises ensemble, la solution de l'inégalité en valeur absolue d'origine |3x - 12| ≥ 6 est x ≤ 2 ou x ≥ 6 ce qui correspond à l'option D.)
a2 - b2 = (a - b) (a + b)
L'aire du rectangle allongé est donc égale à la différence des aires de côtés a et b.
Propriétés des inégalités
Lorsqu'on ajoute un même nombre aux deux membres d'une inégalité, on obtient une inégalité de même sens : si a>b, alors a+c>b+c. Lorsqu'on retranche un même nombre des deux membres d'une inégalité, on obtient une inégalité de même sens : si a>b, alors a−c>b−c.
Résoudre une inéquation consiste à trouver l'ensemble des valeurs par lesquelles on peut remplacer la variable pour obtenir une inégalité vraie. Par exemple : La solution x=1 est une des solutions de l'inégalité 2x+1<5, car en la remplaçant dans cette dernière on obtient 2×1+1<5 qui est une inégalité vraie.
a/ Pour résoudre l'inéquation f(x) < 0, on repère la portion de courbe au dessous de l'axe des abscisses (Ox) : les abscisses correspondantes donnent l'ensemble solution. Si l'inéquation à étudier est f(x) ≤ 0, on prend également les abscisses des points d'intersection.
la limite en 0 de n'existe pas. On ne peut alors parler ni de nombre dérivé, ni de tangente en . Les limites à droite et à gauche en 0 du rapport n'étant pas égales, on ne peut parler de limite en 0. La fonction valeur absolue n'est donc pas dérivable en 0.
Si la valeur absolue est inférieure ou inférieure ou égale à un nombre négatif, il n'y a pas de solution . La valeur absolue de quelque chose ne sera jamais inférieure ou égale à un nombre négatif. F. Si la valeur absolue est supérieure ou supérieure ou égale à un nombre négatif, la solution est constituée de tous les nombres réels.
Tracez la ligne de l'équation correspondante, utilisez une ligne continue si l'inégalité inclut « égal à » et une ligne brisée si ce n'est pas le cas, ombragez la zone ci-dessus pour plus grand que, ombragez la zone ci-dessous pour moins que .
Rappelons qu'une expression en valeur absolue ne peut jamais être inférieure à zéro . Autrement dit, une expression de valeur absolue entièrement réduite doit être supérieure ou égale à zéro. Si vous avez simplifié une équation en valeur absolue et que la valeur de l’autre côté du signe égal est un nombre négatif, l’équation n’a pas de solution.
Méthode pour prouver que deux expressions sont égales :
+21 et B=7(x2 +2)+7 sont égales. Pour prouver une égalité de deux expressions littérales, on peut transformer l'écriture de l'une pour essayer d'obtenir l'autre. Donc A et B sont égales.
Multiplications et divisions. - On ne change pas le sens d'une inégalité quand on multiplie (ou on divise) les deux membres par un même nombre positif. - On change le sens d'une inégalité quand on multiplie (ou on divise) les deux membres par un même nombre négatif.
Le résultat d'une valeur absolue est toujours un nombre positif.
La valeur absolue du nombre est définie comme sa distance à l'origine . Par exemple, pour trouver la valeur absolue de 7, localisez 7 sur la ligne réelle puis trouvez sa distance par rapport à l'origine. Pour trouver la valeur absolue de −7, localisez −7 sur la ligne réelle puis trouvez sa distance par rapport à l'origine.
La variation absolue de deux valeurs est obtenue en faisant la différence de ces deux valeurs. On a la relation suivante : Variation absolue = valeur finale – valeur initiale. La variation absolue est exprimée dans la même unité que la valeur finale et la valeur initiale.
  La valeur absolue d'un nombre réel est toujours positive.